西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2011）第21讲 留数在积分中的应用及复习

西安电子科枝大学 电子工程学院《D School of Electronic Engineering.Xidian University http: xidian.edu.cn edu.ci 场论与复变函数 xuamail.x 主讲：徐乐 2011年12月25日星期日

lexu@mail.xidian.edu.cn

Review 留数 留数定理 ∮f(e)b=22 Reslf(=)a] 的取值可以 比函数极点的 留数计算 100 实际级数高， 而并不会影响 规则Ⅱ的有效 ·Rule:若zo为函数f(a)的一级极点，则 性，有时候将m Res[f(),zo]=lim(z-z0)f(z) 取的比实际级 数高可以简化 ·Rule:若zo为函数f(a)的m级极点，则 留数计算 c划e-ra ·Rule III:设Pa)、Q(z)在zo解析，P(z)0、Qzo)0、 2(2a卡0，则 P(z) Res[f(z),Zo]= P() f(z) 0() Q'(a) lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

Review ·无穷远点留数eV手e 。 若函数fz)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则f() 在所有奇点（包括∞点）的留数总和必为零 ·Rule IV:Res/eol=Ref白是，ol ■采用留数来求解定积分有两点须满足： ·被积函数必须与某解析函数密切相关 ·积分路径是闭曲线 典型定积分留数求解 ·积分类型I:R(cosa,in9a0 2πi∑Resf(z),2] k=1 ■R(cos0,sin0)为cos0与sin0的有理函数 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.c 第21讲留数在积分中的应用及复习 留数在定积分中的应用(II) 复变函数复习 lexu@mail.xidian.edu.cn 4

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用( 积分类型Ⅱ： R(x)dx ·R(x)是x的有理函数 an.edu ·分母的次数至少比分子的次数高二次 ·R(x)在实轴上没有孤立奇点 不失一般性，设： a3- R(2) +62m-I ++a,m-n22 exu +.+bm lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用（Ⅱ） R(z)= z”+42++a2 z"+bzm1+…+b C为以原点为圆心，R为半径的上半平面半圆周 R足够大，使得C包含上半平面所有极点zk R(x)de+R(2)d:-2riReslf(2),z1 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用（Ⅱ） R(2)= 111+4z1++a,2”1 1 1+az+...+az zm-"1+么z1+…+bz"11zm1b21++bn2m bz1+…+五2m 当足够大时 z1+. +a,z"10 IR水品 作R足够大的CR上 R im R(ad0 R(x)k=2∑Refa),] 若R)为偶函数 6 R(x)d&=πi∑Res[f(z),z] lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用() 例1计算积分：1= x"dx (+a2e+ba>0b>0 ·[解]易验证 ·积分函数是x的有理函数 162 a b 2i(a2-b）2ib2-a2) mm=4,n=2,m-n=2 函数的奇点为士ai,◆士bi,不在实轴上 a+b ·利用积分类型Ⅱ采用留数求解，显然，在上半平面仅有 级极点a1,bi,且它们的留数为： Res[R(Z).ai-lim[(-aI)R()- -q2 a 2ai(b"-a') 2i(a2-b2) -b2 b Res[R(2).bi]=lim [(z-bi)R(2)]= 2bi(a2-b22i62-a2) lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用( 积分类型m:「eeo>)d ·R(x)是x的有理函数 。分母的次数至少比分子的次数高一次 。在实轴上没有孤立奇点 ·同样，不失一般性，设 R(2） 2”+1z1 ++a,m-n21 exu z"+bz"-++b lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn

留数在定积分中的应用（Ⅱ） 111+gz1+…+a,2” 1la21++a,2 zm-m1+bz+…+bz"1|zm-11z1+…+bn2 bz+…+b 当足够大时 q2+ 10 在R足够大的CR上 Ro 2 imR(e"d=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

lexu@mail.xidian.edu.cn