西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）13 QR分解及满秩分解

UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第12讲矩阵的QR分解 ·Givens矩阵与Givens7变换 "Householder2矩阵与Householderz变换 ·QR分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第12讲矩阵的QR分解  Givens矩阵与Givens变换  Householder矩阵与Householder变换  QR分解

Givens矩阵与Givens?变换 冬定义 设实数c与s满足c2+s2=1 由Givens矩阵所确定 的线性变换称为 Givens变换 ←(i) Givens矩阵 T= (初等旋转矩阵) ←(j) 标记为 Ti=Tj(c,s) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 Givens矩阵与Givens变换 定义  设实数 c 与 s满足 2 2 cs1   i,j 1 1 c s (i) 1 1 s c ( j) 1 1                                             Givens矩阵 （初等旋转矩阵） T T (c,s) ij ij  标记为 由Givens矩阵所确定 的线性变换称为 Givens变换

Givens?矩阵与Givens?变换 性质 ·(1) [,c,]'=[T,c,s]=工，c,-) s=-sin(θ)=sin(-0) det[T,(c,)]=1 (2) K=[5,55] y=Tx=[nn2…n] 选c= 5 5 V5+号 V+另 5号+号≠0 Tx= 552…+…0… En lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Givens矩阵与Givens变换 性质  （1）  （2）

Givens矩阵与Givens?变换 定理1. ·设x=[5,52…5]≠0 c1=[100…0]' ·存在有限个Givens矩阵的乘积T,使得Tx=xe, 。其中： ·x为实数时 x=V=五 ·x为复数时 x=Vx"x 冬推论 ·对于任何非零列向量x∈及任何单位列向量z=1) ·均存在着有限个Givens矩阵的乘积T ·使得Tx=z lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 Givens矩阵与Givens变换 定理1.  设  存在有限个Givens矩阵的乘积T，使得  其中： • x为实数时 • x为复数时 推论  对于任何非零列向量x∈Rn及任何单位列向量 z(|z|=1)  均存在着有限个Givens矩阵的乘积T  使得  T 12 n x 0      Tx x e  1 2 T 2 x x xx   H x xx   T 1 e 100 0   Tx x z 

Householder?矩阵与Householder?变换 平面直角坐标系中，将向量x关于轴作镜像变换 ,则得到 y=[]0-e= 冬将其推广至n维，可定义 ·设有单位列向量u∈Rm ·则称H=L-2uur为Householderi矩阵（初等反射矩阵） ·由Householder矩阵所确定的线性变换(y=x)称为 Householder3变换 H=H（正交) T=H（实对称) H1=H（自逆) =I（对合) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 Householder矩阵与Householder变换 平面直角坐标系中，将向量x关于e1轴作镜像变换 ，则得到 将其推广至n维，可定义  设有单位列向量u∈Rn • 则称H=I-2uuT为Householder矩阵（初等反射矩阵） • 由Householder矩阵所确定的线性变换（y=Hx）称为 Householder变换   1 1 T 2 2 2 2 1 0 y I 2e e x Hx 0 1                        

Householder?矩阵与Householder变换 冬定理2 ·对任何非零列向量x∈R"及单位列向量z∈R” ·存在Householder矩阵H,使得H=z 选u= x-xz x-z 冬定理3 ·初等旋转矩阵(Givens矩阵)是两个初等反射 矩阵的乘积 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 Householder矩阵与Householder变换 定理2  对任何非零列向量x∈Rn及单位列向量z∈Rn  存在Householder矩阵H，使得 定理3  初等旋转矩阵（Givens矩阵）是两个初等反射 矩阵的乘积 Hx x z 

QR分解 必定义 ·如果实（复）矩阵A可化为正交（酉)矩阵Q与实（复 )上三角矩阵R的乘积 ·即A=QR ·则称上式为A的QR分解 冬定理 ■设A是阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉)矩阵Q与 实（复）上三角矩阵R ·使得A=QR ·且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外 ,上述分解唯一 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 QR分解 定义  如果实（复）矩阵A可化为正交（酉）矩阵Q与实（复 ）上三角矩阵R的乘积 • 即 • 则称上式为A的QR分解 定理  设A是n阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q与 实（复）上三角矩阵R • 使得 • 且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外 ，上述分解唯一 A QR  A QR 

QR分解 冬定理5 设A是m×n的实（复）矩阵，且其n个列线性 无关，则A具有分解A=QR,其中 ·Q是m×n阶实（复)矩阵，且满足Q'Q=I(QHQ=) ·R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵 ·除了相差一个对角元素的绝对值（模)全为1的对角 阵因子外，上述分解唯一 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 QR分解 定理5  设A是m×n的实（复）矩阵，且其n个列线性 无关，则A具有分解A=QR，其中 • Q是m×n阶实（复）矩阵，且满足 • R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵 • 除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角 阵因子外，上述分解唯一 T H Q Q I(Q Q I)  

第13讲 QR分解及满秩分解 矩阵QR分解计算方法 矩阵的满秩分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● ·。·。。。。10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 第13讲 QR分解及满秩分解 矩阵QR分解计算方法 矩阵的满秩分解 10