西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 线性方程组 3.3 线性相关性

西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY$3.3线性相关性线性组合一、二、向量组的等价三、线性相关性四、极大无关组

一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大无关组

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY线性组合一、定义设 α,α2,""",α,ep", Vk,k,..,k,e P和k,a, +k,a, +...+k,a称为向量组α,αz,,α，的一个线性组合若向量β可表成向量组α,α2,,α，的一个线性组合，则称向量β可由向量组αi,α2，",α，线性表出注：1)若α=kβ，也称向量α与β成比例

设 1 2 , , , , n   s  P 1 2 , , , s   k k k P 一、线性组合 定义 1 1 2 2 s s 和 k k k    + + + 称为向量组 的一个线性组合. 1 2 , , ,    s 若向量  可表成向量组    1 2 , , , s 的一个线性组 合，则称向量 可由向量组 线性表出. 1 2 , , ,     s 注：1) 若  = k ，也称向量  与  成比例

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2）零向量0可由任一向量组的线性表出，3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出4）任一n维向量α=（a,az,,an）都是向量组81 = (1,0,...,0), 82 = (0,1,...,0), .., 8, =(0,0,...,1)的一个线性组合。事实上，有对任意α=（a,az，,an），皆有α=ajei +a,e2 +...+anen.882,8他称为n维单位向量组

2）零向量0可由任一向量组的线性表出. 3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n    = = = 4）任一 n 维向量  = ( , , , ) a a a 1 2 n 都是向量组    1 2 , , , n也称为 n 维单位向量组． 的一个线性组合． 1 1 2 2 . n n     = + + + a a a 事实上，有对任意  = ( , , , ) , a a a 1 2 n 皆有

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT例1关判断向量α能否由向量组α,α2,α线性表出若能，写出它的一个线性组合。α = (2,-1,3,4)α =(1,2,-3,1), αz = (5,-5,12,11), αg =(1,-3,6,3)解：设α=kαi+k,αz+kα，即有方程组k+5k,+k,=22k, -5k, -3k, =-1(1)-3k, +12kz +6k, =3k+11kz+3kg=4

若能，写出它的一个线性组合． 1 2 3    = − = − = − (1,2, 3,1), (5, 5,12,11), (1, 3,6,3) 解：设     = + + k k k 1 1 2 2 3 3 ，即有方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 2 2 5 3 1 3 12 6 3 11 3 4 k k k k k k k k k k k k  + + =  − − = − − + + =  + + =  （1） 例1 判断向量  能否由向量组 线性表出. 1 2 3    , ,  = − (2, 1,3,4)

西毛子科技大枣一XIDIANUNIVERSITY对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵￥５112(111-112 -5 -3 -1→A=3-3 126x１113所以方程组(1)有解．它的一般解为21k, =-33k,+1kz=3令 ks =1，得(1)的一个解(1,0,1)， 从而有α=α+α

对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵 所以方程组(1)有解．它的一般解为 2 1 3 3 1 1 3 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   −   →       1 3 2 3 2 1 3 3 1 1 3 k k k k  = +    = − +  得(1)的一个解 (1,0,1)，    = +1 3 1 5 1 2 2 5 3 1 3 12 6 3 1 11 3 4 A     −−− =   −     1 5 1 2 0 3 1 1 0000 0000   →         3 令 k = 1, 从而有

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY二、向量组的等价1、定义若向量组α,αz,,α,中每一个向量 α,i=1,2,,s皆可经向量组β,βz,,β，线性表出，则称向量组αi,α2,",α可以经向量组β,β2,,β,线性表出;若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价

1、定义 二、向量组的等价 向量组等价. 若向量组    1 2 , , , s 中每一个向量 ( 1,2, , ) i  i s = 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个    1 2 , , , s 可以经向量组    1 2 , , , t 线性表出； 皆可经向量组 1 2 , , ,    t 线性表出，则称向量组

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2、性质向量组之间的等价关系具有：1) 反身性2)对称性3)传递性

向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性 2、性质

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY三、线性相关性1、线性相关定义1：如果向量组αj,α2,,α,(s≥2)中有一向量可经其余向量线性表出，则向量组α,α2,α称为线性相关的，注：特殊情形1）向量组α,α,线性相关台α,αz成比例2）任意一个含零向量的向量组必线性相关

三、线性相关性 1、线性相关 注：特殊情形 2）任意一个含零向量的向量组必线性相关. 定义1：如果向量组    1 2 , , , ( 2) s s  中有一向量 称为线性相关的. 可经其余向量线性表出，则向量组 1 2 , , ,    s 1）向量组 线性相关 成比例. 1 2   , 1 2  

西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY定义1：向量组α,αz,,α,(s≥1)称为线性相关线性相关的，如果存在P上不全为零的数k,kz,,k使k,α +k,αz +.+k,α,=0.注：在s≥2 时，定义1与定义1'是等价的例2 判断下列向量组是否线性相关(1) α, =(1,2,3), α2 =(2,4,6), α3 =(3,5,-4)(2)α, =(1,0,0), α, =(1,1,0), αs =(1,1,1)

定义1'：向量组    1 2 , , , ( 1) s s  称为线性相关 如果存在 P 上不全为零的数 1 2 , , , s 线性相关的, k k k 1 1 2 2 0. s s 使 k k k    + + + = 注：在 s  2 时，定义1与定义1'是等价的. 例2 判断下列向量组是否线性相关. 1 2 3 (1) (1,2,3), (2,4,6), (3,5, 4)    = = = − 1 2 3 (2) (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)    = = =

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT2、线性无关定义2：若向量组αj,α2,α，不线性相关，则称即向量组α,α，…,α为线性无关的若不存在P中不全为零的数k,kz,,k,EP，使kjα +k,α2 +...+k,α, = 0则称向量组α,α2,,α，为线性无关的

定义2：若向量组    1 2 , , , s 不线性相关，则称 若不存在 P 中不全为零的数 k k k P 1 2 , , , s  ，使 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 向量组    1 2 , , , s 为线性无关的. 2、线性无关 即 则称向量组    1 2 , , , s 为线性无关的