西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 线性空间 6.3 维数，基与坐标

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITYS6.3维数·基与坐标一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标

一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 §6.3 维数 · 基与坐标

西安毛子科技大枣二XIDIAN UNIVERSITY引入问题I（基的问题）如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？即线性空间的构造如何？问题I（坐标问题）线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系，使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？

引 入 即线性空间的构造如何？ 怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题） 问题Ⅱ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 ——数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ （坐标问题）

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSIT一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间(1) αi,α2,"",α, EV(r ≥1), k],k2,"-,k, E P, 和式kai+kα2+...+k,α,称为向量组α,α2,,α,的一个线性组合(2) αi,α2,"",αr,βV, 若存在 k,k2,,k,E P使 β=kαi +k,α +...+k,αr则称向量β可经向量组αi,α2,α,线性表出；

一、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , ,   r r    V r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k    + + + 称为向量组    1 2 , , , r 的一个线性组合． （2）     1 2 , , , ,r V ，若存在 1 2 , , , r k k k P  则称向量  可经向量组    1 2 , , , r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使     = + + + k k k

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY若向量组 βi,β2,,β，中每一向量皆可经向量组α,α2,"",αr线性表出，则称向量组βi,β2,,β可经向量组α,α2，,α线性表出；若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的（3）αj,α2",α,EV，若存在不全为零的数k,k2,",k,EP，使得kα +k,α2 +... + k,α, = 0则称向量组α,α2,α为线性相关的；

若向量组    1 2 , , , s 中每一向量皆可经向量组 1 2 , , ,   r 线性表出，则称向量组 1 2 , , ,    s 可经向量组    1 2 , , , r 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2 , , ,   r V ，若存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k P  ，使得 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = 则称向量组    1 2 , , , r 为线性相关的；

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY（4）如果向量组α,α2,α,不是线性相关的，即kai +kα2 +...+k.αr= 0只有在k=k，=.=k,=0时才成立，则称α,α2,α为线性无关的。2、有关结论（1）单个向量α线性相关α=0.单个向量α线性无关α≠0向量组α,α2,α,线性相关←αi,α2，,α,中有一个向量可经其余向量线性表出

（4）如果向量组    1 2 , , , r 不是线性相关的，即 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = 只有在 k k k 1 2 = = = = r 0 时才成立， 则称    1 2 , , , r 为线性无关的． （1）单个向量  线性相关  =  0. 单个向量  线性无关    0 向量组    1 2 , , , r 线性相关 1 2 , , ,    r 中有一个向量可经其余向量线性表出． 2、有关结论

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY（2）若向量组α,α2,α线性无关，且可被向量组 βi,β2,,β，线性表出，则 r≤s;若α1,α2,,α,与β,β2,",β,为两线性无关的等价向量组，则r=.3）若向量组αi,α2,α线性无关，但向量组α,α2,αrβ线性相关，则β可被向量组α,α2,αr线性表出，且表法是唯一的

（2）若向量组    1 2 , , , r 线性无关，且可被 向量组    1 2 , , , s 线性表出，则 r s  ; 若    1 2 , , , r 与    1 2 , , , s 为两线性无关的 等价向量组，则 r s = . （3）若向量组    1 2 , , , r 线性无关，但向量组 1 2 , , , ,    r 线性相关，则  可被向量组    1 2 , , , r 线性表出，且表法是唯一的．

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT二、线性空间的维数、基与坐标1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量则称V是无限维线性空间，例1 所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的因为，对任意的正整数n，都有 n个线性无关的向量1, x, x2,..., xn-1

因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1、无限维线性空间 若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 1，x，x 2 ，…，x n－1 二、线性空间的维数、基与坐标

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2、有限维线性空间（1）n维线性空间：若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n十1个向量都是线性相关的，则称V是一个n维线性空间；常记作dimV=n注：零空间的维数定义为0dimV= 0 V={0}

2、有限维线性空间 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . （1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 注：零空间的维数定义为0. dimV＝ 0 V＝{0}

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY(2)基在n维线性空间中，n个线性无关的向量8i1,&2,,8n，称为V的一组基;（3）坐标设Si,&2,8n为线性空间V的一组基,αEV若 α=aei +a,e, +..+a,en, a,az,..an eP则数组a,a2an，就称为α在基,2,Sn下的坐标，记为(ai,a2,",an)

在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 （2）基 1 2 , , , n    ，称为 V 的一组基； 下的坐标，记为 1 2 ( , , , ). n a a a （3）坐标 设    1 2 , , , n 为线性空间 V 的一组基，  V, 则数组 ，就称为 在基 1 2 , , , n    1 2 , , , n a a a  1 1 2 2 1 2 , , , , n n n 若     = + + +  a a a a a a P

西毛子科技大枣一XIDIAN UNIVERSITYaaz有时也形式地记作α=(61,82,,8n).an注意：向量α的坐标(a,a2,an）是被向量α和基,2,唯一确定的．即向量α在基 Si,82,,8n下的坐标唯一的但是，在不同基下α的坐标一般是不同的

有时也形式地记作 1 2 1 2 ( , , , ) n n a a a         =         注意： 向量 的坐标 1 2 ( , , , ) n  a a a 是被向量 和基 1 2 , , , n     唯一确定的．即向量  在基    1 2 , , , n 下的坐标唯一的. 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．