西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第八章 λ-矩阵 8.1 λ-矩阵

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYs8.1 2一矩阵一、入一矩阵的概念二、入一矩阵的秩三、可逆入一矩阵

一、λ－矩阵的概念 二、λ－矩阵的秩 §8.1 λ─矩阵 三、可逆λ－矩阵

西安毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY一、入一矩阵的概念定义：设P是一个数域，是一个文字，P[是多项式环，若矩阵A的元素是的多项式，即P[的元素，则称A为一矩阵，并把A写成A(α)注:①：PCP[a]，：数域P上的矩阵一数字矩阵也是一矩阵

定义： 若矩阵A的元素是  的多项式，即 P[ ]  的元素，则 设P是一个数域，  是一个文字， P[ ]  是多项式环， 称A为  ―矩阵，并把A写成 A( ).  一、λ－矩阵的概念 注： ① P P  [ ],  ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是  ―矩阵

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY②九一矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，其定义与运算规律与数字矩阵相同。③对于n×n的a一矩阵，同样有行列式IA(a)l它是一个几的多项式，且有[ A(2)B(2) [=I A(2) I B(2) / .这里A(a),B(2)为同级一矩阵,④与数字矩阵一样，一矩阵也有子式的概念孔一矩阵的各级子式是孔的多项式

其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n  的  ―矩阵，同样有行列式 | ( ) |, A  它是一个  的多项式，且有 | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A B A B     = 这里 A B ( ), ( )   为同级  ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样，  ―矩阵也有子式的概念.  ―矩阵的各级子式是 的多项式. ②  ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、入一矩阵的秩定义：若α一矩阵 A(α)中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1级的子式（若有的话）皆为零，则称A(a)的秩为r.零矩阵的秩规定为0

若  ―矩阵 A( )  中有一个 r r( 1)  级子式不为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称 A( )  的秩为r . 二、λ－矩阵的秩 定义： 零矩阵的秩规定为0

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY三、可逆入一矩阵定义：一个n×n的一矩阵 A(a)称为可逆的，如果有一一个n×n的一矩阵 B(a)，使A(2)B(2) = B(2)A(2) = E这里E是n级单位矩阵称 B(α)为 A(α)的逆矩阵(它是唯一的)，记作A-'(2)

三、可逆λ－矩阵 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  称为可逆的，如果有一 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( )     = = 一个 n n  的  ―矩阵 B( )  ，使 定义： 这里E是n级单位矩阵. 称 B( )  为 A( )  的逆矩阵(它是唯一的)，记作 1 A ( ).  −

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY判定：）一个n×n 的一矩阵A(a)可逆（定理1）台A()是一个非零常数.证：“→”若A(2)可逆，则有B(α)，使A(2)B(2) = E两边取行列式，得A(2)B(2) =|A(2)[B(2)=E|= 1：A(a),B(a)都是零次多项式，即为非零常数

（定理1） 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  可逆  A( )  是一个非零常数. 证: “  ” 若 A( )  可逆，则有 B( )  ，使 A B E ( ) ( )   = 两边取行列式，得 A B A B E ( ) ( ) ( ) ( ) 1     = = =  A B ( ) , ( )   都是零次多项式，即为非零常数. 判定：

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY“←”设 IA(a)=d是一个非零常数.A*(a)为A(a)的伴随矩阵，则A(a)≥A(a)=A*(2)A(2) = EdA-'(a)=A*(a)..A(2)可逆

“  ” 设 A d ( )  = 是一个非零常数. A ( )  为 的伴随矩阵，则  A( )  1 1 A A A A E ( ) ( ) ( ) ( ) d d       = =  A( )  可逆. 1 1 A A ( ) ( ). d   −  =