西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.1 定义与基本性质

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITYs 9.1定义与基本性质，欧氏空间的定义！欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间

§9.1 定义与基本性质 一、欧氏空间的定义 §9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算其具体模型为几何空间R2、R3但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来长度：α=Vα.αα.β夹角：cos:αβ3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质

§9.1 定义与基本性质 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度：    =  都可以通过内积反映出来： , cos ,          夹角     = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作(α,β)，若(α,β)满足性质：Vα,β,eV，VkeR(对称性）1° (α,β)=(β,α)(数乘)2° (kα,β) = k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,r)（可加性）4°(α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性)

§9.1 定义与基本性质 满足性质：        , , , V k R 1 ( , ) ( , )     = 2 ( , ) ( , ) k k     = 3 ( , ) , ( , )        + = + ( ) 4 ( , ) 0,    当且仅当 = 0时( , ) 0.   = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量   、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , )   ，若 ( , )   （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT则称(α,β为α和β的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间注：欧氏空间V是特殊的线性空间①V为实数域R上的线性空间；②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算；③ (α,β)e R

§9.1 定义与基本性质 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) .    R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , )     为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1．在R"中，对于向量α=(ar,az,",an), β=(bi,b2,".,bn)(1)1)定义(α,β)=ab +a,b, +.+a,b.易证(α,β)满足定义中的性质1～4°所以，(α,β)为内积.这样R"对于内积(α,β)就成为一个欧氏空间。（当n=3时，1）即为几何空间R中内积在直角坐标系下的表达式．(α,β)即α·β．)

§9.1 定义与基本性质 例1．在 R n 中，对于向量   = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 当 n = 3 时，1）即为几何空间 中内积在直角 3 ( R 坐标系下的表达式 . ( , ) .     即  ) 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , )   易证 ( , )   满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n   = + + + a b a b a b （1） 所以, ( , )   为内积

西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT2）定义(α,β)'=a,b, +2a,b, +...+ ka,bk +...+nanb,易证(α,β)满足定义中的性质 1°～4°所以(α,β)也为内积.从而R"对于内积(α,β)也构成一个欧氏空间。注意：由于对Vα·βV,未必有(α,β)=(α,β)所以1），2）是两种不同的内积从而Rn对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间

§9.1 定义与基本性质 2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n    = + + + + + a b a b ka b na b 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , )    由于对      V, 未必有 ( , ) ( , )      注意： = 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , )   满足定义中的性质 ～ .  1 4 所以 ( , )   也为内积. 

西要毛子科技大学=KIDIANUNIVERSITY例2.C(a,b)为闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f(x),g(x)，定义(f,g) = [" f(x)g(x) dx(2)则C(a,b)对于（2）作成一个欧氏空间。证: V f(x), g(x), h(x)eC(a,b), Vke R1. (f,g) = J" f(x)g(x) dx = J' g(x)f(x) dx =(g, J)2. (kf,g)= [' kf(x)g(x) dx =kf" f(x)g(x) dx= k(f,g)

§9.1 定义与基本性质 例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx =  （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证：     f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f ===   2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx = =   = k f g ( , )

西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT3°. (f + g,h) ={'(f(x)+ g(x)h(x) dx= ' f(x)h(x) dx+ ' g(x)h(x) dx=(f,h)+(g,h)4. (f,J)=f"' f"(x) dx:: (f,f)≥0.: f(x)≥0,且若 f(x)±0， 则 f2(x)>0， 从而 (f,J)>0.故(f,J)=0f(x)=0.因此，（f,g)为内积，C(a,b)为欧氏空间

§9.1 定义与基本性质 3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx + = +  ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a = + f x h x dx g x h x dx   = + ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx =  2 f x( ) 0,    ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0,  则 2 f x( ) 0,  从而 ( , ) 0. f f  故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x =  = 因此， 为内积， 为欧氏空间. ( , ) f g C a b ( , )

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2.内积的简单性质V为欧氏空间，Vα,β,V,VkR1) (α,kβ)=k(α,β), (kα,kβ)=k'(α,β)2) (α,β+)=(α,β)+(α,r)推广：(α,β,)=(α,β,)i=1i=13)(0,β)= 0

§9.1 定义与基本性质 ( ) 2 1) ( , ) ( , ), , ( , )         k k k k k = = 2) ( , ) ( , ) ( , )        + = + 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i     = =  = 3) (0, ) 0  = 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间，        , , , V k R

西要毛子律技大學XIDIANUNIVERSITY二、欧氏空间中向量的长度1．引入长度概念的可能性1）在R向量α的长度（模）α=α·α，2)欧氏空间V中，Vα,V，(α,α)≥0使得α.α有意义.2．向量长度的定义Vα,V，α=/(α,α)称为向量α的长度特别地，当α=1时，称α为单位向量

§9.1 定义与基本性质 2) 欧氏空间V中，       , , ( , ) 0 V 使得   有意义.  二、欧氏空间中向量的长度 1. 引入长度概念的可能性 1）在 向量 的长度（模）    =  . 3 R  2. 向量长度的定义   =     , , ( , ) V 称为向量  的长度. 特别地，当  = 1时，称 为单位向量