西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 多项式 1.6 重因式

第一章多项式S7多项式函数

§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式

重因式$1.6一、k重因式二、重因式的判别和求法

一、k 重因式 二、重因式的判别和求法

一、k重因式定义设p(x)为数域P的不可约多项式，f(x)EP[x],若p*(x)If(x), 但pk+l(x)+ f(x),则称p(x)为f(x)的k重因式若 k>1,则称 p(x)为 f(x)的重因式若 k=1,则称 p(x)为f(x)的单因式的因式)（若0，p(是冈31.6重因式

§1.6 重因式 一、k 重因式 设 p x( ) 为数域P的不可约多项式， f x x ( ) P[ ] ,  则称 p x( ) 为 f x( ) 的 k 重因式. 若 k >1, 则称 为 的重因式. p x( ) f x( ) （若 k =0， p x( ) 不是 f x 的因式 ( ) ) 若 ( ) | ( ) ，但 k p x f x 1 ( ) | ( ) , k p x f x + 定义 若 k ＝1, 则称 为 的单因式. p x( ) f x( )

二、重因式的判别和求法1.若f(x)的标准分解式为：f(x) =cp'(x)p3(x) ... p*,(x)则 p,(x)为f(x)的 r,重因式． i=1,2,sr; =1 时，p,(x)为单因式;r;>1 时，p,(x)为重因式。R口下81.6重因式

§1.6 重因式 1. 若 f x( ) 的标准分解式为： 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x =  则 ( ) 为 的 ri 重因式 . i s =  1,2, i p x f x( ) 1 时， 为单因式 ; i r = ( ) i p x 1 时, 为重因式 . i r  ( ) i p x 二、重因式的判别和求法

2.定理6若不可约多项式 p(x)是f(x) 的 k重因式(k≥1),则它是f(x)的微商f(x)的k-1重因式证：假设f(x)可分解为f(x)= p(x)g(x), 其中 p(x)+g(x).:: f'(x) = pk-l(x)(kg(x)p(x)+ p(x)g(x))= pk-I(x)If'(x).冈区81.6重因式

§1.6 重因式 2. 定理6 若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式 ( 1 ), k  证: 假设 f x( ) 可分解为 ( ) ( ) ( ) , k f x p x g x = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k f x p x kg x p x p x g x −  = +    1 ( ) | ( ) . k p x f x −   其中 p x g x ( ) | ( ) . 则它是 的微商 f x( ) 的 k − 1 重因式. f x( ) 

令 h(x) = kg(x)p'(x)+ p(x)g'(x): p(x) +g(x)且 p(x)+p(x),:: p(x)+kg(x)p'(x), = p(x) +h(x)= p*(x)t f'(x):. p(x)是f(x)的 k-1重因式注意定理6的逆命题不成立，即p(x)为 f(x)的k-1重因式，但p(x)床必是f(x)的重因式.81.6重因式R区下

§1.6 重因式 令 h x kg x p x p x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = +    p x( ) 是 f x ( ) 的 k − 1 重因式 p x g x ( ) | ( ) 且 p x p x ( ) | ( ) ,   p x kg x p x ( ) | ( ) ( ) ,   p x h x ( ) | ( ) ( ) | ( ) k  p x f x  p x( ) 为 f x ( ) 的 k − 1 重因式，但 p x( ) 未必是 f x( ) 的 k 重因式. 注意 定理6的逆命题不成立，即

推论1若不可约多项式p(x)是f(x)的 k重因式(k≥1),则p(x)是 f(x),f(x),,f(k-I)(x)的因式，但不是r(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式台 p(x)是f(x)与 f'(x)的公因式81.6重因式区区下

§1.6 重因式 推论1 若不可约多项式 是 的 重因式 则 是 的因式，但不是 的因式. p x( ) ( )( ) k f x f x( ) ( 1) , k  p x( ) ( 1) ( ), ( ), , ( ) k f x f x f x −   k 推论2 不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式 是 f x( ) 与 的公因式.  p x( ) f x ( )

推论3多项式 f(x)没有重因式台(f(x),f(x))=1.推论4f(x)eP[xl ,若 (f(x), f'(x)=p"(x)...p,(x)其中 p,(x)为不可约多项式，则 p;(x)为 f(x)的 ri+1 重因式81.6重因式下区区

§1.6 重因式 推论3 推论4 多项式 f x( ) 没有重因式  = ( ( ), ( )) 1 . f x f x  ，若 其中 为不可约多项式， 则 为 的 重因式. f x( ) f x x ( ) P[ ]  1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) , s r r s f x f x p x p x  =  ( ) i p x ( ) i p x i 1 r +

说明根据推论3、4可用辗转相除法，求出(f(x),f'(x))来判别f(x)是否有重因式．若有重因式，还可由(f(x),f'(x)的结果写出来.例1.判别多项式f(x)有无重因式f(x) = x5 -10x3 - 20x2 -15x - 4区下81.6重因式

§1.6 重因式 根据推论3、4可用辗转相除法，求出 ( ( ), ( )) f x f x  说明 来判别 f x( ) 是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( ( ), ( )) f x f x 的结果写出来.  5 3 2 f x x x x x ( ) 10 20 15 4 = − − − − 例1. 判别多项式 f x( ) 有无重因式

推论5不可约多项式p(x)为 f(x)的k重因式> p(x)为(f(x),f'(x)的 k-1重因式注:f(x)J(x)与(f(x),F(x)有完全相同的不可约因式,f(x)且的因式皆为单因式(f(x), f'(x)区区下81.6重因式

§1.6 重因式 推论5 注: 不可约多项式 为 的 重因式 为 的 重因式. f x( )  p x( ) p x( ) k ( ( ), ( )) f x f x  k − 1 f x( ) 与 有完全相同的不可约因式， ( ) ( ( ), ( )) f x f x f x  ( ) ( ( ), ( )) f x 且 f x f x  的因式皆为单因式