西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 行列式 2.8 Laplace定理（拉普拉斯定理、行列式乘法法则）

第二章行列式85行列式的计算S1引言S6行列式按行（列）展开82排列s3n级行列式s7Cramer法则质s8Laplace定理s4n级行列式的性质行列式乘法法则

§4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式

§2.8拉普拉斯定理 行列式乘法法则 一、k级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则

一、k 级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则

一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k≤n)，位于这些行和列的交叉点上的k2个元素按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n一k级行列式M'，称为k级子式M的余子式；F$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 一、k 级子式与余子式、代数余子式 定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 ( k n  )，位于这些行和列的交叉点上的 个元素 2 k 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式； 余下的元素按照原来的次序组成的 n k − 级 行列

若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是i,i,,i;j,jz,,ik，则在M的余子式M'前加上符号(-1)++++i后称之为M的代数余子式，记为A=(-1)i+i+·+i+i+i+·+ixM"注：①k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有CkCk个k级子式）②k=1时，D中每个元素都是一个1级子式；k=n 时，D本身为一个n级子式。$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i i i j j j 1 2 1 2 , , , ; , , , k k ，则在 M 的余子式 M 前 ( 1) 1 2 1 2 k k 后称之为 M 的代数 i i i j j j + + + + + + + 加上符号 − 余子式，记为 . 1 2 1 2 ( 1) k k i i i j j j A M + + + + + + + = −  注： ① k 级子式不是唯一的. （任一 n 级行列式有 C Cn n k k 个 k 级子式）． k n = 时，D本身为一个n级子式． ② k = 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；

二、 拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致，F$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 二、拉普拉斯(Laplace)定理 引理 行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．

Laplace定理设在行列式D中任意取k(1≤k≤n-1)行：由这k行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式为M,M,,,M,，它们对应的代数余子式分别为A,A2,..,A ,则 D= M,A + M,A, +...+ M,A.2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 Laplace 定理 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 设在行列式 D 中任意取 k ( 1 1   − k n )行， 代数余子式的乘积和等于 D．即 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 则 . 1 1 2 2 . 1 2 D M A M A M A = + + + t t , , , , A A At 为 M M M 1 2 , , , t ，它们对应的代数余子式分别为

注：① k=1时, D= MA+M,A +...+M,A即为行列式D按某行展开；a.akD=2为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果。F$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 11 1 11 1 11 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 * k k r k kk r k kk r rr r rr a a a a b b a a D b b a a b b b b ② = = ① k = 1 时， D M A M A M A = + + + 1 1 2 2 t t 即为行列式 D 按某行展开； 注： 为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．

210-1 2 1例1：计算行列式D=0１30131解：M,=1引--2, M,=1=M,=1 =-1, M,=1-2,M,- =6, M,=1=-1它们的代数余子式为F$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 1 2 1 4 0 1 2 1 1 0 1 3 0 1 3 1 D − 例1：计算行列式 = 解： 1 1 2 2, 1 0 M = = − 2 1 1 0, 1 1 M = = 3 1 4 1, 1 3 M = = − 5 2 4 6, 0 3 M = = 4 2 1 2, 0 1 M = = 6 1 4 1 1 3 M = = − 它们的代数余子式为

4 -1 1 -1/1 - ,A=(-1= ,=(-11 =0 ,TTE4--- --1-0.:: D = (-2)-1 + 0(-2) + (-1)·5 + 2.0 + 6.0 +(-1)·0 = -7F$2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 1 3 1 2 1 0 1 ( 1) 0 0 1 A + + + − = − = 1 3 2 4 2 1 1 ( 1) 2 1 1 A +++ − , = − = − , 1 3 2 3 3 1 2 ( 1) 5 1 3 A +++ − = − = 1 3 1 2 4 0 1 ( 1) 0 0 1 A + + + , = − = , 4 1 1 3 5 0 2 ( 1) 0 0 3 A +++ = − = 1 3 1 2 6 0 1 ( 1) 0 0 1 A + + + − , = − = . ∴ D = − + − + − + + + − = − ( 2) 1 0 ( 2) ( 1) 5 2 0 6 0 ( 1) 0 7

三、行列式乘法法则设有两个n级行列式hM:aiMana12·...aD, =D2::b.b.5annanan2nl12C1C12Cin..CnmCo?则·D,D, =:.CnCn2Cnn.其中 c, =a,tbi, +a,zba, +.+ainbw.hink=1i,j=1,2,..",n2.8Laplace定理

§2.8 Laplace定理 三、行列式乘法法则 设有两个n 级行列式 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , n n n n n n nn n n nn a a a b b b a a a b b b D D a a a b b b = = 其中 ij i j i j in nj 1 1 2 2 c a b a b a b = + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 n n n n nn c c c c c c D D c c c 则 = 1 , n ik kj k a b = =  i j n , 1,2, , =