西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 多项式 1.4 最大公因式

第一章多项式S7多项式函数<S1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念89有理系数多项式S4最大公因式S10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式

§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式

§1.4最大公因式 一、公因式最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式

一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式

一、公因式最大公因式1. 公因式: f(x)、g(x)e P[xl, 若 p(x)e PLx],p(x)f(x) 且 p(x)g(x),满足：则称 (x)为 f(x)、 g(x)的公因式2. 最大公因式: f(x)、 g(x)E P[x],若d(x)E P[x)满足: i) d(x)f(x), d(x)lg(x);i) 若 (x)e P[x], (x)]f(x)且 p(x)g(x),则p(x)d(x) .则称 d(x)为 f(x)、g(x) 的最大公因式R区下81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 1．公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、  若 ( ) x P x  [ ], 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x 2．最大公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、  若 d x P x ( ) [ ]  满足： ii) 若 ( ) [ ] x P x  ， ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ，则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式． 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式． 一、公因式 最大公因式

注：①f(x)、g(x)的首项系数为1的最大公因式记作：(f(x)、g(x)).②Vf(x)EP[xl ，f(x)是f(x)与零多项式o的最大公因式。③两个零多项式的最大公因式为0若 f(x),g(x)不全为零，则(f(x),g(x)≠0.④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.（若 d,(x)、为(x)f(x)g(x))的最大公因式，则d,(x)=cd,C为非零常数·R区F81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 ① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ( ( ) )) f x g x 、 ( . 注： ②   f x P x ( ) [ ] ， f x( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式，则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ，c为非零常数． ) 若 f x g x ( ), ( ) 不全为零，则 ( ( ), ( )) 0. f x g x 

二、最大公因式的存在性与求法引理： 若等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x) g(x)与 g(x) r(x)有相同的公因式,从而(f(x), g(x) =(g(x),f(x)) .81.4最大公因式冈下

§1.4 最大公因式 二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x f x , , = 引理：

定理2对 f(x)、g(x)e P[x]，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且 d(x)可表成 f(x) g(x)的一个组合，即3u(x)、v(x)E P[xl，使d(x)=u(x) f(x) + v(x)g(x).区下81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 定理2 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ．   f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、   u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = +

证：若 f(x)、g(x肩一为0，如 g(x)=0，则 f(x)就是一个最大公因式.且 f(x)=1.f(x)+0·g(x)考虑一般情形：f(x)±0， g(x)0,用g(x)除f(x)得:f(x)= qi(x)g(x)+r(x)其中 (r(x)<a(g(x) 或 r(x)=0.若r(x)±0，用r(x)除g(x)，得:g(x) = q2(x)r(x)+r2(x)区区下81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0，如 g x( ) 0 = ，则 f x( ) 就是一个最大公因式．且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). =  +  考虑一般情形： f x g x ( ) 0, ( ) 0,   用 g x( ) 除 f x( ) 得： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 1 或 r x 1 ( ) 0 = . 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0  ，用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ，得： 证：

其中 a(r(x)0(r(x) >(r(x))>.因此，有限次后，必然有余式为0．设r+1(x) = 0.于是我们有一串等式R口F81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 若 r x 2 ( ) 0  ，用 r x 2 ( ) 除 r x 1 ( ) ，得 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 1 ( ) 0. s r x + = 其中    ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = ． …… 1 2 即       ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x …… 于是我们有一串等式

f(x)= qi(x)g(x)+r(x)g(x) = q2(x)r(x)+ r2(x)ri(x) = q3(x)r(x)+ r(x)ri-2(x) = q;(x)r.(x)+r(x)rs-3(x) = qs-1(x)rs-2(x) + rs-1(x)rs-2(x) = q,(x)rs-1(x)+r(x)r-1(x) = qs+1(x)r,(x)+ 0区区下81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ……………… ……………… i 2 i i-1 i r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − = + s 3 s 1 s 2 s 1 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + s 2 s s 1 s r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + s 1 s 1 s r x q x r x ( ) ( ) ( ) 0 − + = + 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = +

从而有 (f(x), g(x)=(g(x),r(x)=(r(x), r(x)=(r-(x), r(x)=(r(x),0)再由上面倒数第二个式子开始往回选迭代，逐个消去rs-i(x),,r(x)再并项就得到r(x)=u(x)f(x)+ v(x)g(x).冈区81.4最大公因式

§1.4 最大公因式 1 ( ( ) ( ))=( ( ) ( )) f x g x g x r x , , =( ( ) ( )) s 1 s r x r x − , s r x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = + 从而有 =( ( ) ( )) 1 2 r x r x , =… =( ( ) 0) s r x , 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 s 1 1 r x r x ( ), , ( ) − 再并项就得到