西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 行列式 2.5 行列式的计算

第二章行列式85行列式的计算S1引言S2排列86行列式按行（列）展开s3n级行列式7Cramer法则s8Laplace定理s4n级行列式的性质行列式乘法法则

§4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式

$2.55行列式的计算矩阵一、二、矩阵的初等行变换三、行列式的计算四、矩阵的初等列变换

一、矩阵 二、矩阵的初等行变换 三、行列式的计算 四、矩阵的初等列变换

一、矩阵定义由sn个数排成s行n列的表auaana12a2na21a22A=(sn)as1as2...称为一个sXn矩阵，简记为 A=(aj)sxn 数a；称为矩阵A的i行i列的元素，其中为行指标，为列指标.2.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 一、矩阵 定义 由sn个数排成 s 行 n 列的表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a     =       称为一个 s×n 矩阵， j为列指标. ( ) . 简记为 A a = ij s n 数 aij 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标

若矩阵A=(a,)sxn, a, E P, i=1,2,.",S, j=1,2,.",n则说A为数域P上的矩阵，特别地，当 s=n时，A=(a)nxn称为n级方阵由 n级方阵 A=(a)nxn定义的n级行列式aiiAl2 ... alina21a22... 2nanl1 an2... annl称为矩阵A的行列式，记作A或detA。F82.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 若矩阵 ( ) , , 1,2, , , 1,2, , A a a P i s j n =  = = ij s n ij  则说A为数域 P 上的矩阵． 当 s=n 时， A a = ( )ij n n 称为n级方阵． 由 n 级方阵 A a = ( )ij n n 定义的 n 级行列式 称为矩阵A的行列式，记作 A 或detA． 特别地， 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a

矩阵的相等设矩阵 A=(aj)sxn，B=(bi,)sxn，如果aj =bj, i=1,2,..,s, j=1,2,...,n则称矩阵A与B相等，记作A=B.2.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 矩阵的相等 , 1,2, , , 1,2, , ij ij a b i s j n = = = 则称矩阵A与B相等，记作A=B． ( ) , ( ) , 设矩阵 A a B b = = ij s n ij s n   如果

二、矩阵的初等行变换定义数域P上的矩阵的初等行变换是指：1）以P中一个非零数k乘矩阵的一行;kr;2)把矩阵的某一行的k倍加到另一行,k EP；r;+kr3)互换矩阵中两行的位置，r;r;注意：矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B.F82.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行； 2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行， k P  ； 3) 互换矩阵中两行的位置． 注意： 二、矩阵的初等行变换 定义 数域P上的矩阵的初等行变换是指： 矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B． i kr i j r kr + i j r r 

阶梯形矩阵如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为阶梯形矩阵命题任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵，F2.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的 阶梯形矩阵 第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全 为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为 阶梯形矩阵． 任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换 化成阶梯形矩阵． 命题

三、行列式的计算原理：任一方阵A可经过一系列的初等变换化成阶梯阵J，且A=kJ，k0.方法：对行列式A|中的A作初等行变换，把它化为阶梯阵，从而算得行列式的值3-25-171-9913例1计算行列式3-115-528-7 -10F82.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 例1 计算行列式 2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10 − − − − − − − 原理： 三、行列式的计算 任一方阵A 可经过一系列的初等变换化成 阶梯阵 J ，且 A k J k =  , 0. 方法： 阶梯阵，从而算得行列式的值． 对行列式 A 中的A作初等行变换，把它化为

四、矢矩阵的初等列变换定义数域P上的矩阵的初等列变换是指：1）以P中一个非零数k乘矩阵的一列;kc;2)把矩阵的某一列的k倍加到另一列,kE P；c;+kc3)互换矩阵中两列的位置，C; C;矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换F82.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列； 2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列， k P  ； 3) 互换矩阵中两列的位置． 四、矩阵的初等列变换 定义 数域P上的矩阵的初等列变换是指： i kc i j c kc + i j c c  矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．

注意：计算行列式A时，也可对A作初等列变换，把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样可使行列式的计算更简便F82.5行列式的计算

§2.5 行列式的计算 注意： 把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值． 计算行列式 A 时，也可对A作初等列变换， 也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样 可使行列式的计算更简便． A