西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.5 子空间

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$ 9.5子空间一、正交子空间二、子空间的正交补

§9.5 子空间 一、正交子空间 §9.5 子空间 二、子空间的正交补

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY一、欧氏空间中的正交子空间1. 定义：1）V与V,是欧氏空间V中的两个子空间，如果对VαV,βeV2,恒有(α,β)= 0,则称子空间V与V,为正交的，记作V工V.2）对给定向量αV，如果对VβVi，恒有(α,β)= 0,则称向量α与子空间正交，记作αV

§9.5 子空间 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) V1 与 V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 ( , ) 0,   = 则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 1 2 V V⊥ . ( , ) 0,   = 则称向量 与子空间 正交，记作 1  ⊥ V . V1 1 2      V V , , 恒有 2) 对给定向量  V , 如果对   V1 , 恒有

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY注：(1)VIV,当且仅当V中每个向量都与V正交。2VIV, = VnV2 =(0)： VαVn→(α,α)=0=→α=0. )③当αlV且αeV时，必有α=0

§9.5 子空间 注： ① V V 1 2 ⊥ 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② 1 2 1 2 V V V V ⊥  = {0}. ③ 当  ⊥ V1 且  V1 时，必有  = 0. ( ) 1 2    =  =     V V ( , ) 0 0

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY2．两两正交的子空间的和必是直和，证明：设子空间Vi,V2,,V,两两正交，要证明 V④V,④④V，只须证：V+V ++V,中零向量分解式唯一.设 αi+α, +...+α, =0, α, EV, i=1,2,.",s: V,lV,i*j.. (α,0) = (α,α +α, +..+α,) =(α,α,) = 0由内积的正定性，可知α,=0，i=1,2,,S

§9.5 子空间 证明：设子空间 V V V 1 2 ,,, s 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 1 2 , 要证明 V V V    s V V V 1 2 + + + s 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 1 2 0, , 1,2, ,     + + + =  = s i i V i s , V V i j i j ⊥  1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0  = + + + = =        i i s i i 由内积的正定性，可知 0, 1,2, , . i  = =i s

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY二、子空间的正交补1. 定义：如果欧氏空间V的子空间 Vi,Vz满足VV2，并且Vi+V,=V，则称 V,为V的正交补2n维欧氏空间V的每个子空间V都有唯一正交补证明：当V={0}时，V就是V的唯一正交补当V≠{0}时，V也是有限维欧氏空间取V的一组正交基81,82,",8m

§9.5 子空间 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 V V1 2 , 满足 V V 1 2 ⊥ , 并且 则称 为 的正交补. 1 2 V2 V1 V V V + = , 2． 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. V1 n 证明：当 V1 = {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 时， 也是有限维欧氏空间. 1 V1 V  {0} 1 2 , , , , m 取 的一组正交基    V1

西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY由定理1，它可扩充成V的一组正交基61,62,**",8m,8m+1,**",8n记子空间 L(sm+1,,8n)=V2显然，V+V,=V.又对 Vα= Xe) +x2e2 +...+xmem EV,β=Xm+1em+1 +...+xnen eV2,(α,β)=(2x;6, 之 xje,)=2之 x,x,(8,8,)=0i=1j=m+1i=1 j=m+1.. VIv.即 V,为 V的正交补

§9.5 子空间 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n      + 记子空间 L V (  m n +1 2 , , . ) = 1 2 显然, V V V + = . 又对 1 1 2 2 1 , m m  = + + +      x x x V 1 1 2 , m m n n    = + +  x x V + + 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m       x x x x = = + = = + = = =     1 2  ⊥ V V . 即 为 的正交补. V2 V1

西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT再证唯一性．设V2,V是V的正交补，则V=V④V, =V④V3对 αV,由上式知 αVV即有α=α+α，αV，αVV, αα,αα,从而有 (α,α,)=(α, +αg,α,) =(α,α)+(αg,α)=(α,α) = 0由此可得 α=0，即有αV. V,cV3.同理可证V,≤V2，：V,=V3.唯一性得证

§9.5 子空间 再证唯一性. 设 V V2 3 , 是 V1 的正交补，则 V V V V V =  =  1 2 1 31 3 1  ⊥ ⊥     , , 1 1 3 1 ( , ) ( , )      = + 由此可得 1  = 0, 2 3   V V . 对    V2 , 由上式知    V V 1 3 1 3 1 1 3 3 即有      = +   , , V V 又 1 2 1 3 V V V V ⊥ ⊥ , = ( , )  1 1 = 0 1 1 3 1 从而有 = + ( , ) ( , )     即有  V3 同理可证 3 2 V V  , 2 3  = V V . 唯一性得证

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY注:① 子空间W的正交补记为Wl．即W+=αeVlαlw)②n维欧氏空间V的子空间W满足：i)(Wl)-=WdimW + dimW = dimV = nii)w@wI=Viii)iv）W的正交补Wl必是W的余子空间但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补

§9.5 子空间 ② n 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为 W ⊥ . 即 i) ( ) W W ⊥ ⊥ = ii) dim dim dim W W V n ⊥ + = = iii) W W V ⊥  = 注： ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间. ⊥ 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. W V W    ⊥ =  ⊥

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY3．内射影设W是欧氏空间V的子空间，由V=W④WI对 αV, 有唯一的α W,α,W,使α=α+α2称α，为α在子空间W上的内射影

§9.5 子空间 称 为 在子空间W上的内射影.   1 3．内射影 V W W , ⊥ 设W是欧氏空间V的子空间，由 =  对 有唯一的   1 2 W W , , 使 ⊥    V,      = +1 2

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