西安电子科技大学:《高等代数》课程PPT教学课件(讲稿)第九章 欧氏空间 9.5 子空间

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$ 9.5子空间一、正交子空间二、子空间的正交补
§9.5 子空间 一、正交子空间 §9.5 子空间 二、子空间的正交补

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY一、欧氏空间中的正交子空间1. 定义:1)V与V,是欧氏空间V中的两个子空间,如果对VαV,βeV2,恒有(α,β)= 0,则称子空间V与V,为正交的,记作V工V.2)对给定向量αV,如果对VβVi,恒有(α,β)= 0,则称向量α与子空间正交,记作αV
§9.5 子空间 一、欧氏空间中的正交子空间 1.定义: 1) V1 与 V2 是欧氏空间V中的两个子空间,如果对 ( , ) 0, = 则称子空间 V1 与 V2 为正交的,记作 1 2 V V⊥ . ( , ) 0, = 则称向量 与子空间 正交,记作 1 ⊥ V . V1 1 2 V V , , 恒有 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY注:(1)VIV,当且仅当V中每个向量都与V正交。2VIV, = VnV2 =(0): VαVn→(α,α)=0=→α=0. )③当αlV且αeV时,必有α=0
§9.5 子空间 注: ① V V 1 2 ⊥ 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交. ② 1 2 1 2 V V V V ⊥ = {0}. ③ 当 ⊥ V1 且 V1 时,必有 = 0. ( ) 1 2 = = V V ( , ) 0 0

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY2.两两正交的子空间的和必是直和,证明:设子空间Vi,V2,,V,两两正交,要证明 V④V,④④V,只须证:V+V ++V,中零向量分解式唯一.设 αi+α, +...+α, =0, α, EV, i=1,2,.",s: V,lV,i*j.. (α,0) = (α,α +α, +..+α,) =(α,α,) = 0由内积的正定性,可知α,=0,i=1,2,,S
§9.5 子空间 证明:设子空间 V V V 1 2 ,,, s 两两正交, 2.两两正交的子空间的和必是直和. 1 2 , 要证明 V V V s V V V 1 2 + + + s 中零向量分解式唯一. 只须证: 设 1 2 0, , 1,2, , + + + = = s i i V i s , V V i j i j ⊥ 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0 = + + + = = i i s i i 由内积的正定性,可知 0, 1,2, , . i = =i s

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY二、子空间的正交补1. 定义:如果欧氏空间V的子空间 Vi,Vz满足VV2,并且Vi+V,=V,则称 V,为V的正交补2n维欧氏空间V的每个子空间V都有唯一正交补证明:当V={0}时,V就是V的唯一正交补当V≠{0}时,V也是有限维欧氏空间取V的一组正交基81,82,",8m
§9.5 子空间 二、子空间的正交补 1.定义: 如果欧氏空间V的子空间 V V1 2 , 满足 V V 1 2 ⊥ , 并且 则称 为 的正交补. 1 2 V2 V1 V V V + = , 2. 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. V1 n 证明:当 V1 = {0} 时,V就是 V1 的唯一正交补. 当 时, 也是有限维欧氏空间. 1 V1 V {0} 1 2 , , , , m 取 的一组正交基 V1

西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY由定理1,它可扩充成V的一组正交基61,62,**",8m,8m+1,**",8n记子空间 L(sm+1,,8n)=V2显然,V+V,=V.又对 Vα= Xe) +x2e2 +...+xmem EV,β=Xm+1em+1 +...+xnen eV2,(α,β)=(2x;6, 之 xje,)=2之 x,x,(8,8,)=0i=1j=m+1i=1 j=m+1.. VIv.即 V,为 V的正交补
§9.5 子空间 由定理1,它可扩充成V的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n + 记子空间 L V ( m n +1 2 , , . ) = 1 2 显然, V V V + = . 又对 1 1 2 2 1 , m m = + + + x x x V 1 1 2 , m m n n = + + x x V + + 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m x x x x = = + = = + = = = 1 2 ⊥ V V . 即 为 的正交补. V2 V1

西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT再证唯一性.设V2,V是V的正交补,则V=V④V, =V④V3对 αV,由上式知 αVV即有α=α+α,αV,αVV, αα,αα,从而有 (α,α,)=(α, +αg,α,) =(α,α)+(αg,α)=(α,α) = 0由此可得 α=0,即有αV. V,cV3.同理可证V,≤V2,:V,=V3.唯一性得证
§9.5 子空间 再证唯一性. 设 V V2 3 , 是 V1 的正交补,则 V V V V V = = 1 2 1 31 3 1 ⊥ ⊥ , , 1 1 3 1 ( , ) ( , ) = + 由此可得 1 = 0, 2 3 V V . 对 V2 , 由上式知 V V 1 3 1 3 1 1 3 3 即有 = + , , V V 又 1 2 1 3 V V V V ⊥ ⊥ , = ( , ) 1 1 = 0 1 1 3 1 从而有 = + ( , ) ( , ) 即有 V3 同理可证 3 2 V V , 2 3 = V V . 唯一性得证

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY注:① 子空间W的正交补记为Wl.即W+=αeVlαlw)②n维欧氏空间V的子空间W满足:i)(Wl)-=WdimW + dimW = dimV = nii)w@wI=Viii)iv)W的正交补Wl必是W的余子空间但一般地,子空间W的余子空间未必是其正交补
§9.5 子空间 ② n 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为 W ⊥ . 即 i) ( ) W W ⊥ ⊥ = ii) dim dim dim W W V n ⊥ + = = iii) W W V ⊥ = 注: ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间. ⊥ 但一般地,子空间W的余子空间未必是其正交补. W V W ⊥ = ⊥

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY3.内射影设W是欧氏空间V的子空间,由V=W④WI对 αV, 有唯一的α W,α,W,使α=α+α2称α,为α在子空间W上的内射影
§9.5 子空间 称 为 在子空间W上的内射影. 1 3.内射影 V W W , ⊥ 设W是欧氏空间V的子空间,由 = 对 有唯一的 1 2 W W , , 使 ⊥ V, = +1 2

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§9.5 子空间 作业: P392 23 25
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