西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第八章 λ-矩阵 8.3 不变因子

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$ 8.3不变因子一、行列式因子二、 不变因子

一、行列式因子 二、不变因子 §8.3 不变因子

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY一、行列式因子1. 定义：设一矩阵A()的秩为 r，对于正整数k，1≤k≤r,A(a)中必有非零的k级子式，A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk(a)，称为A()的k阶行列式因子，注:若 秩(A(a)=r，则 A(a)有 r个行列式因子

1. 定义： 一、行列式因子 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ),  称为 A( )  的 A( )  中必有非零的 k 级子式， A( )  中全部 k 级子式 设  －矩阵 A( )  的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 ,   k r 若 秩( A r ( )  ) = ，则 A( )  有 r个行列式因子

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.有关结论1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子，（即初等变换不改变一矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。设 A(a)经过一次初等变换变成B(a)，f(a)与g(a) 分别是 A(a)与 B(a)的k级行列式因子.下证f=g，分三种情形：

行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变  －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证，  －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( )  经过一次初等变换变成 B( )  ， f ( )  与 g( )  分别是 A( )  与 B( )  的 k级行列式因子． 下证 f g = ，分三种情形：

西要毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY① A(a)[i]>B(a)。此时 B(2) 的每个k 级子式或者等于A()的某个k级子式，或者与 A() 的某个k 级子式反号．因此，f(a)是B(a）的k级子式的公因式，从而f(a)g(a)② A(a)[i(o)]>B(2)。此时 B(a) 的每个k 级子式或者等于 A(α) 的某个k级子式，或者等于A() 的某个k级子式的c倍． 因此，f(a)是B(2)的k级子式的公因式，从而f(a)g(a)

k 级子式反号. 公因式， 此时 B( )  的每个 k 级子式或 者等于 A( )  的某个 k 级子式，或者与 A( )  的某个 因此， f ( )  是 B( )  的 k 级子式的  ,  ( ) ( ). i j ① A B   ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ).   ( ) ( ) ( ). i c A B     ② ⎯⎯⎯→   k 级子式的c倍. 者等于 A( )  的某个 k 级子式，或者等于 A( )  的某个 此时 B( )  的每个 k 级子式或 因此， f ( )  是 B( )  的 k 级子式的 公因式， 从而 f g ( ) ( ).  

西安毛子科技大学KIDIANUNIVERSI[i+i(o)]>B(a)。此时B(a)中包含i,j两行③ A(a)的和不包含j行的那些k级子式与 A(a)中对应的k级子式相等；B(a)中包含i行但不包含j行的k级子式，按i行分成A(a）的一个k级子式与另一个k级子式的土β()倍的和，即为A(α)的两个k级子式的组合，因此f(2)是B(2)的k级子式的公因式，从而 f(a)g(a).:: f(a)=g(a).同理可得， g(a)f(a)

此时 B( )  中包含 i j , 两行 级子式相等； ( ) ( ) ( ). i j A B      + ③ ⎯⎯⎯⎯→   的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( )  中对应的 k B( )  中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A( )  的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的  ( ) 倍的和，即为 A( )  的两个 k 级子式 从而 f g ( ) ( ).   的组合， 因此 f ( )  是 B( )  的 k 级子式的公因式， 同理可得， g f ( ) ( ).    = f g ( ) ( ).  

西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY2）若-矩阵A(2)的标准形为d,(a)d,(a)D(a) =00其中d,(a),d,(a)为首1多项式，且d,(a)di+r(a), i =1,2,.r -1,则 A() 的 k级行列式因子为D,(a) = d,(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,...r

2）若  − 矩阵 A( )  的标准形为 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =         其中 d d 1 ( ), ( )  r 为首1多项式，且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r   + = − 则 A( )  的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =

西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY证：： A(2) 与 D(2)等价.A(2) 与 D(2)有相的秩与行列式因子.在D(2)中，若一个k级子式包含的行、列指标不完全相同，则这个k级子式为零，所以只需考虑由i,iz,…i行与i,i,…i列组成的k级子式 (1≤i,i,i≤r),即 d,(a)...d, (a).而这种k级子式的最大公因式为 d,(a)d,(a)…d,(a)所以，A(a)的k级行列式因子D,(a)=d;(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,..r

证： A( )  与 D( )  等价， 完全相同，则这个 k 级子式为零. 在 D( )  中，若一个 k 级子式包含的行、列指标不  A D ( ) ( )   与 有相的秩与行列式因子. 1 2 (1 , , ), k 级子式   i i i r 所以只需考虑由 i i i 1 2 , , k 行与 i i i 1 2 , , k 列组成的 k 1 ( ) ( ). k i i 即 d d   而这种 k 级子式的最大公因式为 1 2 ( ) ( ) ( ). k d d d    所以， A( )  的 k 级行列式因子 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY3)（定理4）一矩阵的标准形是唯一的证：设-矩阵A(）的标准形为d(a)d,(a)D(a)=10)其中 d,(a),d,(a)为首1多项式，且d,(a)di+i(a), i = 1,2,...r-1

证：设  − 矩阵 A( )  的标准形为 3）（定理4）  − 矩阵的标准形是唯一的. 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =         其中 d d 1 ( ), ( )  r 为首1多项式，且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r   + = −

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY由2），A(α)的k级行列式因子为D,(a) = d,(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,...r.于是D,(a)D,(a)d,(a)= D,(a), d,(a) =d.(2)D,(a)Dr-i(a)即 d,(a),,d,(a)由 A(a)的行列式因子所唯一确定所以 A(2)的标准形唯一,秩为r的一矩阵的 r个行列式因子满足：40D,(a)Dk+i(a), k =1,2,.",r -1

于是 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) ( ) ( ) r r r D D d D d d D D         − = = = 即 d d 1 ( ), , ( )  r 由 A( )  的行列式因子所唯一确定. 由2）， A( )  的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = = 4）秩为 r 的  − 矩阵的 r 个行列式因子满足： 1 ( ) ( ), 1,2, , 1. D D k r k k   + = − 所以 A( )  的标准形唯一

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、不变因子1.定义：-矩阵 A(α)的标准形d(a)d,(a)D(a) =0的主对角线上的非零元素 d,(a),d,(a),,d,(a)称为 A(a)的不变因子

1. 定义： 二、不变因子  − 矩阵 A( )  的标准形 称为 A( )  的不变因子. 1 2 ( ), ( ), , ( ) r 的主对角线上的非零元素 d d d    1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =        