西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 线性空间 6.6 子空间的交与和

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYS6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质

§6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、子空间的交1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合VnV, =(a|aeV且aeV)也为V的子空间，称之为V,与V,的交空间事实上，:0eV,0eV2,:.0eVnV,*Q任取α,βVnV2,即 α,βV,且α,βeV2,则有 α+βeV,α+βV2,α+βeVnV,同时有 kαV,kαV2,:: kαVnV,VkP故 VnV,为V的子空间

也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V =   { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2       , , , , , ,    V V V V 即 且 1 2 1 2 则有       +  +   +  V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P          , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0       V V V V 称之为V1与V2的交空间

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY显然有，VnV,=V,nV,(nv)nv =Vn(V,nv)2、推广多个子空间的交Vi,V2,,V为线性空间V的子空间，则集合Vnv,n...nv, =Ov, ={αaaeV,i =1,2,3,..,si=1也为V的子空间，称为V,V2,,V、的交空间

显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2   1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s   = = =  = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、子空间的和1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合V+V, =(a, +a, la, eVi,a, eV2)也为V的子空间，称之为V,与V,的和空间事实上,:0eV,0V2,.0=0+0V+V0任取 α,βV+V2, 设 α=αj+α2,β=β, +β,其中, αi,β,Vi,α2,β, EV2,则有α+β=(αi +α2)+(β, +β2)=(αi + β)+(α, + β,)eV+V2kα =k(α, +α,) = kα, +kα, =V +V2, Vke P

二、子空间的和 1、定义 其中，     1 1 1 2 2 2 , , , ,   V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P      = + = +  +   ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = +   { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2       + = + + + ( ) ( ) 任取  , ,  + V V 1 2 设 1 2 1 2       = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + +  + ( ) ( )     V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0    = +  +   V V V V

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY显然有，V+V,=V+V(V +V2)+V, = V+(V, +V3)2、推广多个子空间的和V,V,,V为线性空间V的子空间，则集合Zv, -V+v,+..+v{α +α, +...+α, lα, eV,i =1,2,3,..,s也为V的子空间，称为V,V,…,V，的和空间

显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + +  =     1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V =  = + + +

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注意：V的两子空间的并集未必为V的子空间．例如V =((a,0,0)| ae R), V, =(0,b,0)/ be R)皆为R3的子空间，但是它们的并集V UV, = ((a, 0, 0),(0,b,0)|a,b e R)=((a,b,0)a,beR且a,b中至少有一是0)并不是R3的子空间因为它对R3的运算不封闭，如(1,0,0), (0,1,0) eVUV2但是 (1,0,0)+(0,1,0) =(1,1,0) V U V2

V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 注意： 1 2 V a a R V b b R =  =  {( ,0,0) }, {(0, ,0) } 皆为R3的子空间，但是它们的并集 1 2 V V a b a b R =  {( ,0,0),(0, ,0) , } 并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 1 2 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) + = V V 1 2 (1,0,0), (0,1,0)V V 但是 =  {( , ,0) , , } a b a b R a b 且 中至少有一是0

西安毛子科技大枣XIDIANUNIVERSIT三、子空间的交与和的有关性质1、设 V,V,W为线性空间V的子空间1) 若 W_V,WcV2, 则 WcVnV2.2) 若 V≤W,V≤W, 则V+V2≤W.2、设V,V,为线性空间V的子空间，则以下三条件等价：1) VV2) VnV, =V3) V+V, = V2

三、子空间的交与和的有关性质 1 2 1 2) V V V= 1 2 2 3) V V V + = 1 2 1) V V  2、设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则以下三 1、设 V V W 1 2 , , 为线性空间V的子空间 1）若 W V W V   1 2 , , 则 1 2 W V V  . 2）若 则 1 2 V V W +  . 1 2 V W V W   , , 条件等价:

西要毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITYα,α2…,α,;β,β,.,β,为线性空间V中两组3、向量,则L(α1,α2,"",α,)+ L(β1,β2,",β,)= L(αr,α2,..,αs,βr,β, ".,β,)4、维数公式（定理7）设V,V,为线性空间V的两个子空间，则dim V + dimV, = dim(V + V2)+ dim(VnV2)或 dim(V +V2)= dimV + dimV, - dim(VnV2)

1 2 1 2, ( , , , ) ( , , ) L L       s t + 1 2 1 2, ( , , , , , , ) = L       s t 3、       1 2 1 2, , , , ; , , s t 为线性空间V中两组 向量，则 4、维数公式（定理7） 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，则 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 或 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + −

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小。例如，在R3中，设子空间Vi = L(81,82), V, = L(82,83)其中,8 =(1,0,0), 6, =(0,1,0), 83 =(0,0,1)则， dimV=2，dimV,=2但, V +V, = L(81,82)+ L(82,83) = L(81,62,83)= R3dim(V + V2) = 3由此还可得到，dim(VnV2)=1

注： 从维数公式中可以看到，子空间的和的维数 往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 dim( ) 3 V V 1 2 + = 1 1 2 2 2 3 V L V L = = ( , ), ( , )     1 2 3 其中，    === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 3 1 2 1 2 2 3 1 2 3 但， V V L L L R + = + = = ( , ) ( , ) ( , , )        则， dim 2, dim 2 V V 1 2 = = 由此还可得到，dim( ) 1. V V 1 2 =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY推论：设V,V,为n维线性空间V的两个子空间，若 dimV+dimV,>n，则V,Vz必含非零的公共向量.即VnV,中必含有非零向量证：由维数公式有dim(VnV2) = dimV + dimV, - dim(V +V2)又V+V,是V的子空间，：（dim(V +V2)≤n若 dim+dimV,>n，则 dim(VnV)> 0.故VnV,中含有非零向量

推论：设 V V1 2 , 为n维线性空间V的两个子空间， dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 = + − + 若 dim dim V V n 1 2 +  ，则 V V1 2 , 必含非零的公共 向量. 即 中必含有非零向量. V V 1 2 证：由维数公式有 又 V V 1 2 + 是V的子空间，∴ dim( ) V V n 1 2 +  若 dim dim , V V n 1 2 +  则 dim( ) 0. V V 1 2  故 中含有非零向量. V V 1 2