西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 线性空间 6.1 集合与映射

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY第六章线性空间

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYs6.1集合·映射一、集合二、映射

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY一、集合1、定义把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合组成集合的这些事物称为集合的元素☆ 常用大写字母A、B、C等表示集合；用小写字母a、b、c等表示集合的元素。当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：aEA；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：史A

把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作：a  A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：a  A 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY☆集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质M=（x|x具有性质P)列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来M= (ay, az, ., an]例1 M = ((x,y)x + y2 = 4,x,yE R)例2 N= {0,1,2,3,.....},2Z ={0,±2,±4,±6,....}例3 M = (xx2 -1 = 0,x e R) = (-1,1)

☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 2 2 M  {(x, y) x  y  4, x, y  R} 例2 N＝{0,1,2,3,}， 2Z＝ {0,2,4,6,} 例3 2 M  {x x  1  0, x  R}  {1,1} M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝ ☆集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY☆空集：不含任何元素的集合，记为Φ。约定：空集是任意集合2、集合间的关系的子集合。☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作BCA，（读作B包含于A）BCA当且仅当 VxEB=xEA☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A=B.A三B当H仪当ACBHBCA

☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B  A ，（读作B 包含于A） B A当且仅当 xBxA ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为Φ． ☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与 B相等，记作A＝B. A＝B当且仅当A  B且 B  A 约定： 空集是任意集合 的子集合

西安毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY3、集合间的运算交: ANB=(xxE A且xEB) ;并:AUB=(xxEA或xEB)显然有，ANBA；AAUB

交：A  B  {x x  A且x  B} ； 并：A B  {x x  A或x  B} 显然有，A B  A; A  A B

西安毛子科技大学KXIDIANUNIVERSITY二、映射1、定义设M、M是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则c，通过这个法则c对于M中的每一个元素a，都有M"中一个唯一确定的元素a'与它对应,则称c为M到M"的一个映射，记作:α：M一→M'或M°→M称a'为a在映射下的象，而a'称为a在映射下的原象，记作a(a)=a' 或 :aa

设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a ´与它对应, 则称 σ为 称 a ´为 a 在映射σ下的象，而 a ´ 称为a在映射σ下的 M到M´的一个映射，记作 : : M  M '或 M M'  原象，记作σ(a)＝a ´ 或  : a  a

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY注① 设映射:M→M',集合(M) =(α(a)a E M)称之为M在映射下的象，通常记作Imo显然，Imo_ M'②集合M到M自身的映射称为M的一个变换

① 设映射  : M  M ' , 集合 称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． ② 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换． 显然，Im  M '  (M)  { (a) a  M}

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例4判断下列M到M'对应法则是否为映射1) M= (a, b, c) 、M'= (1,2,3,4)(是): o(a)=1, o(b)=1, o(c)=2(不是）S: 8(a)=1, 8(b)=2, 8(c)=3, 8(c)=4(不是）T: t(b)=2, t(c)=42) M=Z, M'=Z+,(不是）: (n)=|nl, Vne Z(是)T: t(n)=|n|+l, VnEZ

例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M´ ＝｛1,2，3,4｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 δ：δ(a)＝1, δ(b)＝2, δ(c)＝3, δ(c)＝4 τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4 （不是） （是） （不是） 2）M＝Z，M´ ＝Z＋， σ：σ(n)＝|n|,  n  Z τ：τ(n)＝|n|＋1,  n Z （不是） （是）

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY3）M=pnxn，M"=P，（P为数域)(是): (A)=A|, VAepmxn4）M=P，M=Pnxn，（P为数域) (是)t：t(a)=aE，VaEP(E为n级单位矩阵)5）M、M"为任意两个非空集合，α.是M中的一个固定元素。(是): (a)=ao， Va M6）M=M =P[xl（P为数域)(是): o(f(x)=f'(x), Vf(x)e P[x]

σ：σ(a)＝a0，  a  M 4）M＝P，M´ ＝P nn ，（P为数域） τ：τ(a)＝aE，a  P（E为n级单位矩阵） 5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 固定元素. （是） （是） 6）M＝M´ ＝P[x]（P为数域） σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f ( x) P[x] （是） 3）M＝ P nn ，M´ ＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|，  A  P n n （是）