西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.3 矩阵乘积的行列式与秩

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY643矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式非退化矩阵二三、矩阵乘积的秩

一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩

西要毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引入B行列式乘法规则bila1bba12anD1m6a?an?ann222nD, =D2..:...·:bban1an2annnln2nnC11C12CanABCnCoCo!则 D,D,2=...:CnCn2Cnn其中 C, =a,bi, +a,zb2,+..+anb. bakiikk=1i,j=1,2,...,n

引入 行列式乘法规则 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , n n n n n n nn n n nn a a a b b b a a a b b b D D a a a b b b = = 其中 ij i j i j in nj 1 1 2 2 c a b a b a b = + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , n n n n nn c c c c c c D D c c c 则 = 1 , n ik kj k a b = =  A B AB i j n , 1,2, , =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY证：作一个2n级的行列式00ana00aD=6b.inb.D1ninn由拉普拉斯定理a,D=an0nn

证：作一个2n级的行列式 11 1 1 11 1 1 0 0 0 0 1 1 n n nn n n nn a a a a D b b b b = − − 11 1 11 1 1 1 n n ij ij n nn n nn a a b b D a b a a b b = = 由拉普拉斯定理

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY又对D作初等行变换：i=1,2,...,n.I, =aii'n+1 +ai2'n+2 +... +ain'2n?可得00C11Can00.CnlCnnD=-1brbinbmbnn-1这里C, =aibr, +azb2, +..+anbj, i,j=1,2,.,n

又对D作初等行变换： 1 1 2 2 2 , 1,2, , . i i n i n in n r a r a r a r i n = + + + = + + 可得 11 1 1 11 1 1 0 0 0 0 1 1 n n nn n n nn c c c c D b b b b = − − 这里 1 1 2 2 , , 1,2, , . ij i j i j in nj c a b a b a b i j n = + + + =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY..D =(-1)I+2++n+(n+1)+.+2n|Ci(-1)" =Cij.从而[a;1b,|=|cgl,C, =a,by, +aizb2, +...+anbmi, i,j=1,2,..,n

1 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) n n n n D c c ij ij + + + + + + +  = − − = 1 1 2 2 , , 1,2, , . ij i j i j in nj c a b a b a b i j n = + + + = 从而 , ij ij ij a b c =

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、矩阵乘积的行列式定理1设A,B为数域P上的n级矩阵，则[AB| = |A|B].推广A,Az,,A,为数域P上的n级方阵，则IAA..A -A IA I..A I

定理1 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B = . 1 2 1 2 | | | || | | | . A A A A A A t t = 推广 A A A 1 2 , , , t 为数域 P 上的 n 级方阵，则 一、矩阵乘积的行列式

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、非退化矩阵定义设A为数域P上的n级方阵，若A±0，则称 A为非退化的;若A=0，称A为退化的。注：n级方阵A非退化台R(A)=nA0,n级方阵 A退化台R(A)<n台A=0

定义 若 A = 0 ，称 A 为退化的． 若 A  0 ，则称 A 为非退化的； 注： n 级方阵 A 非退化  =   R A n A ( ) 0 ； n 级方阵 A 退化    = R A n A ( ) 0. 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵， 二、非退化矩阵

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY推论 设A,B为数域 P上的n级矩阵，则AB 非退化 台 A,B 都非退化（AB退化台A或B退化）证：AB非退化AB0A|B±0台A￥0且B±0台A,B都非退化·

推论 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B 非退化  , 都非退化 证： ( AB A B 退化  或 退化 ) AB AB 非退化   0   A B 0    A B 0 0 且  A B, 都非退化

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY三、矩阵乘积的秩定理2设Axm,Bmxs为数域P上的矩阵，则R(AB)≤ min(R(A), R(B)证: 令 A=(a,)nxm,B=(b,)mxs, AB=C=(c,)nxs设 B的行向量组为B,,Bm，C的行向量组为C,,C.则向量组合a,B,+a,zB,+…+aimBm(atbu +aizb21 +..+aimbm1,..,a,bi, +ai2b2s +..+aimbms

三、矩阵乘积的秩 定理2 设 A B n m m s   , 为数域 P 上的矩阵，则 R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) .  ( ) 证： 令 ( ) , ( ) , ( ) . A a B b AB C c = = = = ij n m ij m s ij n s    设 的行向量组为 1 , , , B B Bm 1 , , . C Cn C 的行向量组为 则向量组合 i i im m 1 1 2 2 a B a B a B + + + = + + + + + + (a b a b a b a b a b a b i i im m i s i s im ms 1 11 2 21 1 1 1 2 2 , , )

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY即有a,B, +aizB, ++aimB.(2aubiabr, aubak=lk=-1(ci1,Ci2,"",is) = C, ,i=1,2,.,n故 Ci,C2,,C,可由 Br,Bz,",Bm线性表示.所以 R(C)≤ R(B)。 同理，R(C)≤R(A):: R(AB)≤min(R(A),R(B)

即有 1 2 1 1 1 , , , , n n n ik k ik k ik ks k k k a b a b a b = = =   =       i n = 1,2, , i i im m 1 1 2 2 a B a B a B + + + = (c c c i i is 1 2 , , , ) , = Ci 故 C C C 1 2 , , , n 可由 B B B 1 2 , , , m 线性表示. 所以 R C R B ( ) ( )  ． 同理， R C R A ( ) ( ).    R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) . ( )