西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.3 同构

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY同构s 9.3欧氏空间的同构二、同构的基本性质

§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 §9.3 同构 二、同构的基本性质

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY欧氏空间的同构定义：实数域R上欧氏空间V与V称为同构的如果由V到V有一个双射α，满足Dα(α+β) =α(α)+α(β),2)α(kα) = ko(α),Va,βeV, VkeR3)(α(α),α(β) =(α,β),这样的映射α称为欧氏空间V到V'的同构映射

§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 定义：实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的， 如果由V到V‘有一个双射  ，满足 1) ( ) ( ) ( ),        + = + 2) ( ) ( ),     k k =      , , V k R 3) ( ), ( ) ( , ), (      ) = 这样的映射  称为欧氏空间V到V'的同构映射

西要毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY二、同构的基本性质1、若α是欧氏空间V到V的同构映射，则α也是线性空间V到V'同构映射2、如果是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，则dimV = dimV'.3、任一 n维欧氏空间V必与R"同构

§9.3 同构 1、若  是欧氏空间V到V'的同构映射，则  也是 线性空间V到V'同构映射. 2、如果  是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则 ' dim dim . V V = 3、任一 n 维欧氏空间V必与 同构. n R 二、同构的基本性质

西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY证：设V为n维欧氏空间，i,&2,8n为V的一组标准正交基，在这组基下，V中每个向量α可表成X,ERα=Xe+Xe+...+X,en,作对应 α:V→R", (α)=(xi,X2,",xn)易证是V到R"的双射且满足同构定义中条件1）、2）、3），故α为由V到R"的同构映射，从而V与R"同构

§9.3 同构 标准正交基， 证： 设V为 n 维欧氏空间，    1 2 , , , n 为V的一组 在这组基下，V中每个向量  可表成 1 1 2 2 , n n i     = + + +  x x x x R 作对应 1 2 : , ( ) ( , , , ) n    V R x x x → = n 易证  是V到 的双射. n R 且  满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 的同构映射，从而V与 同构. n  R n R

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：①反身性；②对称性；③传递性①单位变换I是欧氏空间V到自身的同构映射②若欧氏空间V到V'的同构映射是α，则α-1是欧氏空间V到V的同构映射事实上，α首先是线性空间的同构映射其次,对 Vα,βeV，有(α,β)=(o(α-"(α),o(α-(β) =(α-(α),α-(β)：α-1为欧氏空间V"到V的同构映射

§9.3 同构 ①反身性；②对称性；③传递性. 4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ① 单位变换 IV 是欧氏空间V到自身的同构映射. ② 若欧氏空间V到V'的同构映射是  ，则 是 1  − 其次，对    , , V ' 有 ( , )   事实上，  首先是线性空间的同构映射. 欧氏空间V'到V的同构映射. ( ) 1 1       ( ( )), ( ( )) − − = ( ) 1 1     ( ), ( ) − − = 为欧氏空间V'到V的同构映射. 1  − 

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT③若o,t分别是欧氏空间V到V'、V到V"的同构映射则t是欧氏空间V到V"的同构映射事实上，首先，To是线性空间V到V"的同构映射其次，对 Vα,βeV，有(to(α),to(β)) =(t(o(α),t(α(β)=(α(α),α(β))=(α,β)：to为欧氏空间V到V"的同构映射

§9.3 同构 ③ 若  , 分别是欧氏空间V到V' 、V'到V"的同构映射， 则  是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先，  是线性空间V到V"的同构映射. (    ( ), ( )) = (    ( ), ( )) 其次，对    , , V 有 = (      ( ( )), ( ( ))) = ( , )     为欧氏空间V到V"的同构映射

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY5、两个有限维欧氏空间V与V'同构<> dimV= dimV'作业证明：如果实数域上的欧氏空间V与V'之间有一个双射。满足((α),α(β) = (α,β),则V与V'同构

§9.3 同构 5、两个有限维欧氏空间V与V'同构 ' dim dim . V V = 作业 证明：如果实数域上的欧氏空间V与V’之间 有一个双射 满足 则V与V’同构.  (      ( ), ( ) ( , ), ) =