西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.4 矩阵的逆

§4.4矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程

一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程

可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 A-1.可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且0(A-")"= A.单位矩阵E可逆，且（E)=E。34.4矩阵的逆区区

§4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且 1 A −

二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法1、伴随矩阵定义设A，是矩阵A=(a）nn中元素a;的代数余子式，矩阵A1 A21AnA12 A222..A*=(Ain Azn ... An)称为A的伴随矩阵性质：AA*=A"A=|AE84.4矩阵的逆

§4.4 矩阵的逆 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A     =       性质： * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数

证：由行列式按一行（列）展开公式k=id,akiA +ak2Ai2 +...+aknAin10,k+id =|Al.(d,l=jauA, +aA2, +.+ anAwj(0,l+j立即可得，Allania12aA21InAn2A12An2a22a2na21AA* =AinAzn ... Annanannan200d0d0同理，A*A=dE.= dE.00d..84.4矩阵的逆区区

§4.4 矩阵的逆 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A       =          d A = . 1 1 2 2  , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + =  1 1 2 2  , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + =  0 0 0 0 . 0 0 d d dE d     = =       同理, * A A dE =

2、定理：矩阵A可逆当且仅当|A±0，（即AA*A-1非退化的），且Al证：若IA±0，由AA"=A'A-|AEA*A*得1=EAAAA-1所以，A可逆，且A反过来，若A可逆，则有AA-I=E,两边取行列式，得[AA-"=E|=1.：[A|0.84.4矩阵的逆AP

§4.4 矩阵的逆 * 1 . A A A − 非退化的），且 = 证：若 A  0, 由 * * AA A A A E = = 所以，A可逆，且 * 1 . A A A − = 两边取行列式，得 1 A A E 1. − = =   A 0. 2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A  0, （即A 得 * * A A A A E A A = = 反过来，若A可逆，则有 1 AA E, − =

3、推论：设A、B为n级方阵，若AB=E,则A、B皆为可逆矩阵，且A-I=B，B-1=A.证: ： AB=E: IAB=|A|B =[E|=1从而[A±0，B￥0.由定理知，A、B皆为可逆矩阵再由(AB)B-1 = EB-1A-(AB)= A-'E,即有，A-1=B,B-1=A.84.4矩阵的逆区区

§4.4 矩阵的逆 则A、B皆为可逆矩阵，且 1 1 A B B A , . − − = = 证： AB E =  = = = AB A B E 1 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而 A B   0, 0. 1 1 A AB A E ( ) , − − 再由 = 即有， 1 1 A B B A , . − − = = 1 1 ( ) , AB B EB − − = 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E=

例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆(1232211) A=343aan2) A=(n)84.4矩阵的逆A

§4.4 矩阵的逆 例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. 1 2 3 1) 2 2 1 3 4 3 A   =       1 2) 2 n a a A a     =      

123解：1）221:=2.·343再由.A可逆.Ai =2, Ai = 6, Ai =-4,Az = -3, A22 = -6, A32 = 5,A13 = 2, A23 = 2, A3 = -2.6-4A有 A-153-62A22284.4矩阵的逆

§4.4 矩阵的逆 解：1） 1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3 = ∴ A可逆. 12 22 32 A A A = − = − = 3, 6, 5, 11 21 31 A A A = = = − 2, 6, 4, 13 23 33 A A A = = = − 2, 2, 2. 再由 * 1 2 6 4 1 3 6 5 . 2 222 A A A −   − = = − −       有

2) A|=aa..ang：当a,±0(i=1,2,,n)时，A可逆且由于aaza,EaaaS4.4矩阵的逆

§4.4 矩阵的逆 1 2 2) , A a a a = n ∴ 当 0 ( 1,2, , ) 时，A可逆. i a i n  = 1 1 1 1 2 2 1 n n a a a a a a − − −                 且由于 1 1 1 1 2 1 . n a a A a − − − −      =       1 1 1 E     = =      

三、逆矩阵的运算规律()若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-)"=A(2)若A可逆，数入±0,则2A可逆，且(αA)-= (③)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(ABA4推广(A, AA)=AA" A84.4矩阵的逆

§4.4 矩阵的逆 三、逆矩阵的运算规律 ( ) 2 若A可逆,数  0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A   (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1