西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第6讲 场论（复习课）

南安电分许技款警 电子工程学院DP School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲：徐乐 2014年9月24日星期三

场论与复变函数 主讲：徐乐 2014 年 9 月24日星期三

内容提要 ■课程的教学目标与任务 。 掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌 握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学 背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学 思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习 有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数 学基础。 ■本课程与其它课程的联系和分工 场论是工科类专业学生的必修课程，它揭示和探索了 某种物理量（如：温度、密度、电位、力、速度等等）空 间的分布和变化率，是现代化科学中不可缺少的数学 工具 lexu@mail.xidian.edu.cn

内容提要  课程的教学目标与任务 • 掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌 握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学 背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学 思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习 有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数 学基础。  本课程与其它课程的联系和分工 • 场论是工科类专业学生的必修课程，它揭示和探索了 某种物理量(如：温度、密度、电位、力、速度等等)空 间的分布和变化率，是现代化科学中不可缺少的数学 工具 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

内容提要 ■场论(10学时) ·数量场和矢量场的概念；数量场的等值面和矢量场的矢量线的概 念 。数量场的方向导数和梯度的定义及计算： ·矢量场的通量和散度的定义及计算；矢量场的管量和旋度的定义 及计算： 。有势场、管形场、调和场的概念和意义。 ■重点、难点 ·重点：数量场、矢量场的基本概念，方向导数和梯度、通量和散 度、环量和旋度的计算。 难点：方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算、哈密 顿算子的应用。 lexu@mail.xidian.edu.cn

内容提要  场论(10学时) • 数量场和矢量场的概念；数量场的等值面和矢量场的矢量线的概 念； • 数量场的方向导数和梯度的定义及计算； • 矢量场的通量和散度的定义及计算；矢量场的管量和旋度的定义 及计算； • 有势场、管形场、调和场的概念和意义。  重点、难点 • 重点：数量场、矢量场的基本概念，方向导数和梯度、通量和散 度、环量和旋度的计算。 • 难点：方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算、哈密 顿算子的应用。 lexu@mail.xidian.edu.cn 3

内容提要 。基本要求 ·正确理解数量场、矢量场的基本概念，理解数量场的等值面和矢 量场的矢量线的意义。 ·正确理解数量场的方向导数及梯度的概念，并会求一般函数沿给 定方向的方向导数和梯度。 ·正确理解矢量场的通量及散度的意义，熟练运用法则求一些矢量 场的通量和散度。 ·正确理解矢量场的环量及旋度的意义，会用基本公式求一些矢量 场的环量和旋度。 ·理解有势场、管形场、调和场的基本概念，会求有势场的势函数； 理解矢性算子（哈密顿算子）的一般概念。 lexu@mail.xidian.edu.cn

内容提要  基本要求 • 正确理解数量场、矢量场的基本概念，理解数量场的等值面和矢 量场的矢量线的意义。 • 正确理解数量场的方向导数及梯度的概念，并会求一般函数沿给 定方向的方向导数和梯度。 • 正确理解矢量场的通量及散度的意义，熟练运用法则求一些矢量 场的通量和散度。 • 正确理解矢量场的环量及旋度的意义，会用基本公式求一些矢量 场的环量和旋度。 • 理解有势场、管形场、调和场的基本概念 调和场的基本概念，会求有势场的势函数 会求有势场的势函数； 理解矢性算子(哈密顿算子)的一般概念。 lexu@mail.xidian.edu.cn 4

场论 单值、连续且具 数量场 有一阶连续偏导 等值面 梯度 方向导数 矢量场 通量 矢量线 散度 旋度 环量面密度 环量 lexu@mail.xidian.edu.cn

场论 单 连 数量场 值、 续且具 有一阶连续偏导 等值面 梯度 方向导数 矢量场 通量 矢量线 散度旋度 通量 环量面密度 lexu@mail.xidian.edu.cn 5 环量

特殊矢量场 ■有势场 A=grad u 4=-grad v rotA=0 u(x,V,)= Px,y。,o)dk+ Q(x。)dh+ R(x,y,a)d追 ◆ 管形场 di4=0 =0x片)- R(x,y,o)dy V=-[P(x,y,2)da A≡rOtB W=C(C为任何常数 调和场 divA=0 x,y)=-P(x,)d- O(x,y)dy rot4=0 e(x,y.)dxP(x,y)dy lexu@mail.xidian.edu.cn

特殊矢量场  有势场 A  grad u  A  grad v  rotA  0  有势场 g g (, ,) (, , ) (, , ) (, ,) o oo x yz oo o x y z u x y z Px   y z dx Q x y z dy R x y z dz     管形场 o oo y divA  0  0 0 0 (, ,) (, , ) z y z y U Q x y z dz R x y z dy       A  rotB   0 (, ,) (C ) z z V P x y z dz W C       为任何常数  调和场  W C (C ) 为任何常数 div 0 A   (, ) (, ) (, ) x y o v x y    P x y dx Q x y dy div 0   rot 0 A A    (, ) (, ) (, ) o o o x y y y Q yy   (, ) (, ) (, ) x y u x y Q x y dx P x y dy      lexu@mail.xidian.edu.cn 6 (, ) (, ) (, ) o o o x y u x y Q x y dx P x y dy   

特殊矢量场 ■共轭调和 Ou bv Ou ov 共轭调和条件 ox ay'dy dx O'uo'u =0 共轭调和函数 =0 O a2 2 ■拉普拉斯算子 △三 拉普拉逊 调和量 满足拉普拉斯 △u=div(grad 方程，且有二 阶连续偏导数 ■拉普拉斯方程 △2u=0 的函数，叫做 调和函数 lexu@mail.xidian.edu.cn

特殊矢量场  共轭调和 , u vu v         共轭调和条件 x yy x 2 2 0   u u   2 2 2 2 2 2 0 0 x y v v         共轭调和函数 2 2 0 x y    222   拉普拉斯算子 222 xyz        拉普拉逊 满足拉普拉斯  调和量 拉普拉斯 u u  div(grad ) 满足拉普拉斯 方程，且有二 阶连续偏导数 lexu@mail.xidian.edu.cn 7  拉普拉斯方程 u  0 阶连续偏导数 的函数，叫做 调和函数

哈密顿算子 微分性 矢量性 。V算子一哈密顿算子 Nabla(那勃勒) ·直角坐标系定义： Del代尔) 。梯度： gradu Vu 数乘 ·散度： =7, 点积 ·旋度： rotM=7× 叉积 a -+4 +A lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子 算 哈密顿算 微分性 矢量性  ▽算子——哈密顿算子 • 直角坐标系定义    Nabla(那勃勒) • 直角坐标系定义： • 梯度： z z y y x x ˆ ˆ ˆ           ˆ ˆ ˆ uuu u xyz        Del(代尔) • 梯度： gradu  • 散度： u xyz x y z      x y z A A A A xyz          g divA   数乘 点 x y ˆ ˆ z ˆ   散度 • 旋度：  xyz A  点积 x y z A x y z A A A       rotA  叉积  lexu@mail.xidian.edu.cn 8 AA A A xyz x y z         

哈密顿算子 ■两个矢量恒等式 div(rot④=0 7,(7×=0 旋无散 rot(gradu)=0 7×7=0 梯无旋 ■两个积分变换 A·d=rot·d ∮Adl=f ×Ad 线→面 乐A divAdy V.Adv 面→体 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

哈密顿算子  两个矢量恒等式  ( )  div(rot ) 0 A     ( ) A 0 旋无散  两个积分变换 rot(grad ) 0 u    ( )0 u 梯无旋  两个积分变换 A  dl A ds rot        Adl A ds           线→面 A ds divAdv       L S   L S     A d Ad  面 体     lexu@mail.xidian.edu.cn 9 S V A ds divAdv     面→体 S V A d s   Adv  

正交曲线坐标系 ■拉梅系数 ·坐标曲线弧微分ds=士h2+d2+d止2 拉梅系数 ds =H dq 倍++ ·。一般曲线的弧微分 ds=d2+d,+ds2=且do+H,2dg,2+且，dg2=d2+d2+d也 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

正交曲线 标系 坐  拉梅系数 • 坐标曲线弧微分 222 i ds dx dy dz    i q ds dx dy dz   222 ()()() x y z H  拉梅系数 ds H dq    • 一般曲线的弧微分 ()()() i iii H qqq    i ii 拉梅系数 ds H dq  2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 1 2 3 11 2 2 33 ds ds ds ds H dq H dq H dq dx dy dz        lexu@mail.xidian.edu.cn 10