西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第2讲 数量场

南安电分许技新警 电子工程学院DP School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲：徐乐 2014年9月3日星期三

场论与复变函数 主讲：徐乐 2014 年 9 月 3日星期三

Review ■矢量代数 ■矢性函数 ■矢性函数微积分 lexu@mail xidian.edu.cn

Review  矢量代数  矢性函数  矢性函数微积分 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

矢量代数 ■矢量合成、分解 运算 法则 合成 分解 平行四边形 a 法则 分解 具 三角形 b 不 性 法则 lexu@mail xidian.edu.cn

矢量代数  矢量合成、分解 运算 法则 合成 分解 平行四边形 法则 a  b  c  矢量 法则 分解 三角形 b b   具有 不唯 三角形 性 法则 a  c 一性 lexu@mail.xidian.edu.cn 3

矢性函数微积分 矢性函数 A=A(t+A.(+A(t 运算 LA(1]=L[A(t)]R+L[A(t)]+LA(t)]2 L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分） 些基本矢量运算 a.b=a.b.cose axb= ay a.(bxc)=c.(axb)=b.(cxa) a b b, ax(bxc)=(a.c)b-(a.b)c lexu@mail xidian.edu.cn

矢性函数微积分 () () () ˆ ˆ A A tx A t xyz y A tz   矢性函数 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ˆ ˆ  LA t x LA t y LA t z xyz    运算 L是算子符号，代表 一种运算 （极限 、导数 、积分 ） LAt [ ( )]  L是算子符号，代表 种运算 （极限 、导数 、积分 ） 一些基本矢量运算 a b     a b cos  x ˆ ˆ y zˆ a b   abc   ( )     cab bca     () ()      x y z x y z aaa bbb  lexu@mail.xidian.edu.cn 4 a bc ( )      ( ) -( ) acb abc       

矢性函数 ■矢性函数 ·矢端曲线： ■将空间中所有矢量的起点 固定在坐标原点，当1变化 时，矢量的终点描绘出一 条曲线1，该曲线称为矢性 函数的矢端曲线或图形。 ·认为所有大小相等、方向 相同的矢量是同一个矢量 ■矢性函数的表示式也称为 曲线的矢量方程： A=A(0x+A,()+A()月 lexu@mail xidian.edu.cn

矢性函数  矢性 数函 • 矢端曲线：  将空间中所有矢量的起点 固定在坐标原点，当t变化 时，矢量的终点描绘出一 条曲线l，该曲线称为矢性 函数的矢端曲线或图形。  认为所有大小相等、方向 相同的矢量是同一个矢量  矢性函数的表示式也称为 曲线l的矢量方程： A A (t) ˆ  A (t) ˆ  A (t)ˆ  lexu@mail.xidian.edu.cn 5 A A t x A t y A t z x y z  ( )  ( )  ( )

第2讲数量场 ■场论导论 ■矢量场的矢量线 ■数量场的等值面与等值线 数量场的方向导数与梯度 lexu@mail xidian.edu.cn 6

第2讲 数量场  场论导论  矢量场的矢量线  数量场的等值面与等值线  数量场的方向导数与梯度 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

场论导论 ■场论初窥 ·如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理 量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量 的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的 无穷集合表示一种场。 ■在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状 态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量（即 标量函数)所确定的场称为数量场，如温度场T代，y,2、电位场 0(x,yz)等。 。而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还 需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为 矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 lexu@mail xidian.edu.cn

场论导论  场论初窥 • 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理 量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量 的一个场。换句话说， 在某一空间区域中，物理量的 无穷集合表示 种场 一 。  在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状 态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即 标量函数)所确定的场称为数量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场 φ(x, y, z)等。  而在许多物理系统中 而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小 其状态不仅需要确定其大小，同时还 需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为 矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7

场论导论 场的一个重要的属性是它占有一定空间： ■且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是 处处连续的： 。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场： 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或时变场。 数量场矢量场 静态场 动态场 lexu@mail xidian.edu.cn

场论导论  场的一个重要的属性是它占有一定空间；  且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是 处处连续的；  若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；  若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或时变场。 lexu@mail.xidian.edu.cn 8

矢量场的矢量线 ■矢量场 4=4(M) ·M为矢量场中的任意一点： 。矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 。 直角坐标系下，矢量场可表示为： A=A(x,y,2月 单值、连续且具 +4,(xy,z)月 有一阶连续偏导 +A(八，2) lexu@mail xidian.edu.cn

矢量场的矢量线  矢量场 • M为矢量场中的任意 一 点 A A ( M )    • M为矢量场中的任意 点； • 矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 • 直角坐标系下，矢量场可表示为： ˆ (, ,) ˆ (, ,) A A xyzi x A xyz j    单值、连续且具 (, ,) 有 阶连续偏导 ˆ (, ,) y z A xyz j A xyzk   有 一阶连续偏导 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

矢量场的矢量线 ■矢量线 ·曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切 ·矢量线方程 dx dy dz AA,A Note:A不为0，且其3个分 量单值、连续且具有一阶连 续偏导数时，矢量线存在且 互不相交： 矢量面：通过曲线C的矢量 线构成的曲面： 。 矢量管：曲线C封闭时的矢 量面。 lexu@mailxidian.edu.cn 10

矢量场的矢量线  矢量线 • 曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切； • 矢量线方程： AAA xyz dx dy dz   • Note：A不为 0，且其 3个分 量单 值、连 续 且 具有一阶连 xyz 值 续 具 续偏导数时，矢量线存在且 互不相交； • 矢量面：通过曲线 C的矢量 线构成的曲面； • 矢量管：曲线 C封闭时的矢 量面 lexu@mail.xidian.edu.cn 10