大学数学——定理讲解

冷定理168:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域,a与β在F上具有相同的极小多项 式p(x)∈F[]则:F(a)≌F(β) 冷证明:设degp(x)=n,由定理167知 冷F(a)F区x](p(x) 冷由定理16,7知Fx](p(x)F(β) 因此F(x)≌F()

❖ 定理16.8:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域, 与在F上具有相同的极小多项 式p(x)F[x],则:F()≌F()。 ❖ 证明:设degp(x)=n,由定理16.7知 ❖ F()≌F[x]/(p(x)) ❖ 由定理16.7知F[x]/(p(x))≌F() ❖ 因此F()≌F()

冷定理169:域FF’p为其同构映射,B分 别为F与F的代数元,其极小多项式分别为 p(x=∑ax2,p()=∑x,并且0(n) 2l≤ 则F(x)≌F(B) 要注意定理中的要求:0(1)=a 如果不满足此条件结论不一定成立

❖ 定理16.9:域F≌F' ,为其同构映射,,分 别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为: p(x) a x , n 1 i 1 i  i − = =  − = = n 1 i 1 i i p(x) a x , (a ) 并 且 i a ,i 1, ,n 1, = i =  − 则F()≌F'()。 要注意定理中的要求: = ai (a )  i 如果不满足此条件,结论不一定成立

冷设F(a)…(n)表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域,它是否为代数扩域? 定理:设E为F上的有限扩域,则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元 即找根为a的多项式∈F[x]

❖ 设F(1 )…(n )表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域，它是否为代数扩域？ ❖ 定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元. 即找根为a的多项式F[x]

代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限设为n 冷f(x)=xn+1+2x+2∈Q[×不可约 冷设a为f(x)的根,则1,ax,2,…,线性无关, 冷所以[E:Q]n+1,矛盾

❖ 代数扩域不一定是有限扩域。 ❖ E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限,设为n. ❖ f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约 ❖ 设为f(x)的根,则1,,2 ,n线性无关, ❖ 所以[E:Q]n+1,矛盾

三、多项式根域 定义16.8:F为域,f(x)∈F[x,degf(x)=n≥1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积 (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式x)在上的捉域,或简 称域

三、多项式根域 定义16.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简 称根域

例:f(x)是F上的二次多项式, f(x)=ax2+bx+c(0≠a∈F)2H1、2为fx)的二 个根 N=F(L1 f(x)在F上可约,N=F

例：f(x)是F上的二次多项式， f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二 个根. N=F(1 ). f(x)在F上可约，N=F

引理161:设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域Kp(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+,+anxn 由定理162知:域F[x](p(x)是F的n次扩张 (p(x)+x是p(x)在K中的根 定理16.10:如果(x)是域F上的多项式,deg f(x)≥1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理15.12

引理16.1：设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域K,p(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+…+ anx n 由定理16.2知:域F[x]/(p(x))是F的n次扩张. (p(x))+x是p(x)在K中的根 定理16.10：如果f(x)是域F上的多项式, deg f(x)1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理15.12

推论164:F为域,对F[x]中的任一多项式 f(x)-定存在F上的根域。 例:由实数域R扩充建立复数域 RIx(x2+1=fa+bxa, bER) 令i=(x2+1)+0+1x =(x2+1)+(-1)为(x2+1)+1关于的逆元 简记为2=-1

推论16.4:F为域, 对F[x]中的任一多项式 f(x)一定存在F上的根域。 例：由实数域R扩充建立复数域 R[x]/(x 2+1)={a+bx|a,bR} 令i=(x 2+1)+0+1x i 2=(x 2+1)+(-1)为(x 2+1)+1关于的逆元。 简记为i 2=-1

§3有限域 伽罗瓦( Galois域 个域的元素有限就是有限域这种域又称为 伽罗亙 Galois)域。 定理16.12:F为有限域则存在素数p,自然数 m≥1,使FF=pm。 证明:1必存在素数p,使得 charF=p 利用定理165:F为域,则必包含一个素子域 △, charF=p时,Asz

§3 有限域 一、伽罗瓦(Galois)域 一个域的元素有限就是有限域,这种域又称为 伽罗瓦(Galois)域。 定理16.12:F为有限域,则存在素数p,自然数 m1,使|F|=pm 。 证明:1.必存在素数p,使得charF=p 利用定理16.5：F为域,则必包含一个素子域 , charF=p时, ≌Zp

冷定义169:一个具有p个元素的有限域称为 pm阶伽罗瓦域,记为GF(p),其中p为素 数,m≥1为自然数。 冷定理1613:设 charF=p,△为F的素域,F|=pm, 则F是xqx在△上的根域,其中q=pm。 设a为有限群[G的元素,则a的阶整除|Gl。 推论165:GF(pm)中任一元在其所含素域△上 均有一个极小多项式

❖ 定义16.9:一个具有pm个元素的有限域称为 pm 阶 伽 罗 瓦 域 ,记 为 GF(pm),其 中 p为 素 数,m1为自然数。 ❖ 定理16.13:设charF=p,为F的素域, |F|=pm , 则F是x q -x在上的根域,其中q=pm 。 设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除|G|。 ❖ 推论16.5:GF(pm)中任一元在其所含素域上 均有一个极小多项式