西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第六节 极限存在准则、两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限 按 掌握两个极限的存在准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 利用两个重要极限求极限 利用第二重要极限求极限的方法 本节介绍极限存在两个准则,并用它解决微积分学中的两个重要极限 、夹逼定理 定理(夹逼定理)设函数f(x,g(x,(x)满足 (i)在点x0的某一去心邻域内:g(x)≤f(x)≤(x (i)lim g()=mh()=a lim f(x=a sin x 此定理的证明与数列的夹逼定理的证明极为相似,且几何意义也很明显,下面利用该定理证明x0x (1)证明 单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x< 作单位圆的切线,得△ACO.扇形AB的圆心角为x,△OAB的高为BD 于是有sin x=弧AB,tanx=A cosx <a snx<x<tanx,即 上式对于一<x<0也成立当0树<。时 =2 sIn mcx=1又m1=1l 解12112122 水= 原式 x=12=1 二、单调有界原理 如果数列{x,】满足条件而≤≤而≤…≤,≤H≤…,就称数列{xn】是单调增加的 丙222…2x2x12…,就称数列(】是单调减少的单调增加和单调减少的数列统称为单调数列 单调有界原理 单调有界数列必有极限。 为了证明ma+2 存在,可分几步走 (1)首先证明 1!n …+ …+ (1--)(1--)…(1--)

第六节 极限存在准则 两个重要极限 教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学难点：利用第二重要极限求极限的方法 教学内容： 本节介绍极限存在两个准则，并用它解决微积分学中的两个重要极限 . 一、夹逼定理 定理 （夹逼定理）设函数 满足 （ⅰ）在点 的某一去心邻域内： （ⅱ） 则 。 此定理的证明与数列的夹逼定理的证明极为相似，且几何意义也很明显，下面利用该定理证明 （1）证明 证 ， 即 例1求 解 例2求 解： 二、单调有界原理 如 果 数 列 满 足 条 件 ， 就 称 数 列 是 单 调 增 加 的 ； 如 果 数 列 满 足 条 件 ，就称数列 是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列. 单调有界原理： 单调有界数列必有极限。 为了证明 存在，可分几步走. （1）首先证明 存在

类似地, 显然xn1>x,{x]是单调递增的, 1+1+…+1<1+1+2 3, x]是有界的,如存在 (=271 (2)当x≥1时,有[x]≤x5[x]+1 AIM. lim(1+r)=e e [x]+1 t lim ( =lim(1+)2(1+-)=8 lm (+x= m(1 im[(+-)]=1m-1

类似地, （2） 而 所以 所以 例3 求 解：原式 例4 解： 原式