西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第四章 不定积分 第三节 分部积分法

第三节分部积分法 教学目的:熟练掌握不定积分的分部积分法 教学重点:分部积分法 教学难点:分部积分法 教学内容 定理设(x)与(x)在同一区间l上都连续, Ju(x)v(x)dx=u(xjv(x)-v"(x)u(x)dx 即 ju(x)dv(x)=u(x)v(x)-Ju(x)dv(x) 注:(1)在应用分部积分法时只要找到了a(x),那么y(x)也就知道了.所以在应用分部积分 公式时最为关键的就是找出(x)来 (2)(x)可以按照口诀“反对幂指三”来确定,即反三角函数、对数函数、幂函数、指 数函数以及三角函数,谁的位置在前谁就是(x) 例3求下列不定积分 a Jxcos x dx, (2)xe*dx,(3)(arcsin x)dx, (4)7dx InIn x 6) (7) s)』a(xy+x)d COSey (按照口诀幂函数在三角函数之前,所以“x”为(x),那么“cosx”就是v(x).) =-x8-e+C (按照口诀幂函数在指数函数之前,所以“x”为(x),那么“e”就是v(x).) arcsin x)dx =x(arcsin x)2-x.2 arcsin x √h-x2 x(arcsin x)+2 arcsin xd. =arcsin 对+21- 2. arcsin x-J√小- x arcsin x) In x,r 1 nA (4) InIn In xiN x=In x InIn x-In x dx=ln x In In x-Inx+C X In x dx=x(sec2 x-1)dx c2 xdx-xdx=xd ta tan x+In C x arctan kdx=)1+r ctan xdx=(arctan x arctan x )dx 1+x arctan xdx-arctan xd arctan x=arctan x dx-(arctan x)2 x arctan x-In(1+x)-(arctan x

第三节 分部积分法 教学目的：熟练掌握不定积分的分部积分法 教学重点：分部积分法 教学难点：分部积分法 教学内容： 定理 设 与 在同一区间 上都连续，则 即                       注：（1）在应用分部积分法时只要找到了 ，那么 也就知道了.所以在应用分部积分 公式时最为关键的就是找出 来； （2） 可以按照口诀“反对幂指三”来确定，即反三角函数、对数函数、幂函数、指 数函数以及三角函数，谁的位置在前谁就是 . 例3  求下列不定积分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （ 6 ） ； （ 7 ） ； （ 8 ） ； （ 9 ） . 解：（1） （按照口诀幂函数在三角函数之前，所以 “ ”为 ，那么“ ”就是 .） （2） （按照口诀幂函数在指数函数之前，所以 “ ”为 ，那么“ ”就是 .） （3） （4） （5） （6） （7）

2)k=xhm(x++x)-」xkx=x(x+小1+x)-+x+ (8) (9)Jocose*dx=e'dsine=esinea-sin e*de=e sin e*+cose+C

（ 8 ） （ 9 ）