西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第七章 空间解析几何与向量代数 7.2 数量积 向量积

第二节数量积向量积 教学目的:让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、 垂直等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础 教学重点:1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2向量平行、垂直的应用 教学难点:1活学活用数量积、向量积的各种形式 2向量平行与垂直的相应结论 教学内容 数量积 ●定义:ab=ls8,式中9为向量a与b的夹角 物理上:物体在常加F作用下沿直线位移s,力F所作的功为 W=Fse 其中日为F与s的夹角 ●性质:I Ⅱ.两个非零向量a与b垂直a⊥b的充分必要条件为:ab=0 Ⅲ.ab=b (a+b)c V. (a) c=n(ac) 尾为数 几个等价公式: 1.坐标表示式:设a={ax,ay,a2}, b=arbx+a,by +abs Ⅱ.投影表示式:ab=lPb=Pa 日 Ⅲ.两向量夹角可以由 b式求解 ●例子:已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB 提示:应用上求夹角的公式 二.向量积 概念:设向量c是由向量a与b按下列方式定义: 的模F=ban,式中为向量a与的夹角 c的方向垂直与a与b的平面,指向按右手规则从a转向b ※注意:数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量 公式:c=aXb 性质:I.a×a=0 Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为:axb=0 Ⅲ b=-b ⅣV.(a+b)xc=axc+bxc V. (ha)xc=ax(nc)=2(a xc) 为数

第二节 数量积 向量积 教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、 垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础. 教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容： 一．数量积： ● 定义： ，式中 为向量a与b的夹角. ● 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为             其中 为F与s的夹角. ● 性质：Ⅰ. Ⅱ.两个非零向量a与b垂直 的充分必要条件为： Ⅲ. Ⅳ. Ⅴ.       为数 ● 几个等价公式： Ⅰ.坐标表示式：设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}则     Ⅱ.投影表示式： Ⅲ.两向量夹角可以由 式求解 ● 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求 提示：应用上求夹角的公式. 二．向量积： ● 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义： c的模 ，式中 为向量a与b的夹角. c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b. ※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量. ● 公式： ● 性质：Ⅰ. Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为： Ⅲ. Ⅳ. Ⅴ.        为数

几个等价公式: I·坐标表示式:设a={ax,ay,a2},b={bx,by,b2则 axb=(apb2-apby)i+(axbx-a,b2)j+(axby-apbn)k b Ⅱ.行列式表示式 br b, bs ●例子:已知三角形ABC的顶点分别为:A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(24,7) 求三角形ABC的面积 解:根据向量积的定义, SAC= AB sin∠C= ABaC 由于AB={2,2,2},AC={1,2,4} ABxAC=2 22=4i-6j+2. 因此 于是”4ABC-2 √42+(-6)2+2=√4 小结:本节是向量运算中很重要的部分,与上节共同讲述了向量的坐标表示 以及向量的运算,这些是本章的一个重点

● 几个等价公式： Ⅰ.坐标表示式：设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}则     Ⅱ.行列式表示式： ● 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)， 求三角形ABC的面积. 解：根据向量积的定义， 由于 ＝{2,2,2}， ＝{1,2,4} 因此 于是 小结：本节是向量运算中很重要的部分，与上节共同讲述了向量的坐标表示 以及向量的运算，这些是本章的一个重点