西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第四章 不定积分 第二节 换元法积分法

第二节换元法积分法 教学目的:熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法;掌握较简单的有理函数的积 分 教学重点:第一类换元法,第二类换元法 教学难点:第一类换元法 教学内容 、第一类换元法(凑微分法) 定理设l和J是两个区间,x∈J,函数=(x)在点x处可导,且x)∈l,又 J/()du=F(u)+c ueD J(以刈)](x)x=F[刈+C(x∈ 证:设F(2)为f(2)的原函数,即F()=如)或」Jfa)d=F(2)+C 如果=(x),且(x)可微,则 ax(ox=F(a)d(x=o()=oxolo(x 即2{((x)为[(x)](x)的原函数(x∈J),故 1以刈](=F[)]+C(x∈D) 例1求下列不定积分: (1) 2cos 2xdx d (2)13+2x (3)J(2xe+x 1-x+tan x)dx (4)Ja2+x dx dx (5) (6)x(1+21nx)√x 解:(1) J2 cos 2xdx= cos 2x(2x)'dx= cos 2xd2 (2)13+2 232÷(3+2n=1 213+2x d3+2x)=n3+2x|+C tan x)dx x dx -Ja-x540-x)-丁-dax=2--x3-1x+e ctan一 1+(-)2 (5)1x2 In x-al-In x+a]+C=In M-c Idx dx+[eva dx 6 (1+2lnx) d(1+2lnx)+ 21 3VFd3x=In|1+21nx1+=ev+C 1+21nx

第二节 换元法积分法 教学目的：熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法；掌握较简单的有理函数的积 分。 教学重点：第一类换元法，第二类换元法 教学难点：第一类换元法 教学内容： 一、第一类换元法（凑微分法） 定理 设 和 是两个区间， ，函数 在点 处可导，且 ，又 ，                          则                                             证： 设 为 的原函数，即 或 如果 ，且 可微，则 . 即 为 的原函数（ ），故 . 例1  求下列不定积分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 解：（1） （2） （3） （4） （5） （ 6 ）

第二类换元法 定理设x=(0)在某区间内可导、单调,又设[)d=)+C,则 f(x)dx=G-(x)+C 其中,φ(x)=t是x=9()的反函数 例2求下列不定积分 (a>0) (a>0) (5) 解:(1)令x= a sin L,2 la2-x2=a cost, dx=a cost dt t+-sin 2t+C t+-sin t cost+C =— arcsin a2-x2 +C 丌 丌 (2)令x=atmt,-2152,则√a2+x2=asct,dkx= a dt, 因此a+ F Jasect2 asec2t dt=sect dt=In sect +tan I+C1=In x+v C1=C-hn In x+ 用类似方法可得 d(x+1) (4)令=1+e(>1),x=1n(-1,则t-1 故 t∈ 5)当x∈( d 时,令 则 dx dt arcsin arcsin -=+C 当x∈(-∞,-a)时,令 x=-t∈(--,0) 类似可得x√x2-

二、第二类换元法 定理 设 在某区间 内可导、单调，又设 ，则 . 其中， 是 的反函数. 例2  求下列不定积分. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 解：（1）令 ， ，则 ， 因此   （2）令 ， ，则 ， ， 因此 其中 . 用类似方法可得： （3） （4）令 ， ，则 故  （ 5 ） 当 时 ， 令 ， ， 则 ， . 当 时，令 ， ，类似可得