西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第二章 导数与微分 第二节 函数的求导法则

第二节函数的求导法则 教学目的:掌握导数的四则运算法则,掌握基本初等函数的求导公式,会求 反函数的导数 教学重点:导数的四则运算法则,反函数求导方法 教学难点:反函数求导 教学内容 函数的和、差、积、商的求导法则 定理函数2(x)y(x)在点x处可导,则 (1)(x)土v(x)在点x处可导,且 (x)±y(x)=(x)±v( (2)c(x)在点x处可导,且 c为常数 (3)(x)v(x)在点x处可导,且 (x)(x)=tx(x)+(x)y(x) (4)D(x)(x)≠0 在点x处可导,且 n(x)1(x)(x)-(x(x (x) 证(1)略 f(x+h)-f(x) (x+(x+h)-(x(x) =如(++)(+时)+x(x+)x(x (x+)-(x) v{x+h)-(x) k lim x+)-(x) 力++( (x+l)-y(x) (x(x)+(x)(x) 设(x)=(x) (以(x)≠0), (x) f(x)=m∫(x+)-了(m—以x k

第二节 函数的求导法则 教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求 反函数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点：反函数求导 教学内容： 一、 函数的和、差、积、商的求导法则 定理 函数 在点 处可导，则 （1） 在点 处可导，且 （2） 在点 处可导，且     为常数 （3） 在点 处可导，且 （4） 在点 处可导，且 证 (1)略. （2）                         (3) 设

u(x+h)v(x-u(x)v(x+h) v(x+h)v(x)h Lu(x +h)-u(xlv(x)-u(xlv(x+h-v(x) v(x+h)v(x)h (x+2)-a4(x) v(x-u(x) v(x+Av(x) [v(x)]2 f(x)在处可导 例1求y=x3 sinx的导数 解:y2=3x2-4x+cosx 求 例2小y 2xlnx的导数 解∵y=2snx: cosx In x y=2cos x cos x In x+2 sin x (sin x).In x+2 sin xcos x 2cos 2xIn x+ x,求y sin x)cos x-sin x(cos 解 cos xT Sin x 即 这就是正切函数的导数公式 例4y=sx,求y (sec x) 即 这就是正割函数的导数公式 用类似方法,还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x) (esc x) csc cot 反函数的求导法则 定理 如果函数x=)在某区间内单调、可导且o()≠0,那末它的反函数 y=f(x)在对应区间2内也可导,且有 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数

例 1 解： 例 2 解 例 3  ，求 . 解：        ， 即 这就是正切函数的导数公式. 例 4 ，求 . 解： ， 即 这就是正割函数的导数公式. 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： ， . 二、反函数的求导法则 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

任取x∈lx,给x以增量△ In) 由y=f(x)的单调性可知Ay≠0, 于是有 因为f(x)连续, 4y→0(Ax→0),又知d(y)≠0 所以 1 f(x)=lim -=l1 o() f(x)= (y) 例5求函数y= arcsin x的导数 X= sin 在l∈(x,内单调、可导 解 且(siny)=cosy>0, 在l2∈(-1)内有 cco 同理可得 (arctan x)= +x2,(arc cot x)'s-1 例6求函数y=lgax的导数 解:∵x=a在,∈(O+)内单调、可导,且(a)=a"la≠0 在l∈(0,+∞)内有, dog x) a')'aIn 特别地x)y X 三、复合函数的导数 定理如果4=以()在点x0可导,而y=/)在点40=(x0)可导,则复合函数 y=f(x)在点x可导,且其导数为 证由于y=f)在点0可导,因此 lim==f'uo) 存在,于是根据极限与无穷小的关系有

证： 于是有 因为 所以 即 例 5 解： 同理可得 例 6 解： 特别地 三、复合函数的导数 定理 如果 在点 可导，而 在点 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为 证 由于 在点 可导，因此 存在，于是根据极限与无穷小的关系有

2y=f0)+a 其中c是△n→>0时的无穷小.上式中△n≠0,用△乘上式两边,得 △y=f(oAa+a,△ 当△=0时,规定=0,这时因4y=(o+△)-f)=0 而4y=f(0_x+a△右端亦为零,故4y=(+a,△对△=0也成 立用△x≠0除4y=(0A+a△M两边,得 fuo) △x 于是 Ay lim f uc 根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道,当△x→0时,A→>0,从而可 以推知 lim a= lim a= o Mx→0 A→0 又因x=以(x)在点不0可导,有 lin o(x0) Ax→0Ax ffus =f)(x0) 证毕 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例 设y=),=o(吵,v=以(x),则 dy dy du 而 du dv 故复合函数y=(o)的导数为 dy du dy dx du dy dx 当然,这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在 例7y=血 n sin x,求ax (n sin x) Cosr cot x sin x Sin A 例8y=31-2x2,求ax y -2x)(-2x)= 解 3 例9y=acos(),求ax

其中 是 时的无穷小.上式中 ，用 乘上式两边，得 当 时，规定 ，这时因 ， 而 右端亦为零，故 对 也成 立.用 除 两边，得 于是               根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当 时， ，从而可 以推知 又因 在点 可导，有 故                       即                           证毕. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例， 设 ， ， ，则 ，而 故复合函数 的导数为 当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在. 例 7 ，求 . 解： . 例 8  ，求 . 解： . 例 9 ，求

=-Sin Y 解:所给函数可分解为y=na,w=cosν,v=ex.因ait, dx ( sle*t 不写出中间变量,此例可这样写: co 4)=一14)=4)=:m 四、常用的导数公式 (1)(C)=0 (2) ()(sin x)=cosx (4)(COS x)=-sin x, (5)(tan x=sec"x, (6)(cot (7)(sec x)=sec xtanx (8)(csc x)=-csc x (9) (2) =a In a (10) e)= x In a arcsin x)= arccos x) (13) (14) (arctan x) (15) 1+x (16)(arc cot x)=-1 1+x 五、基本的导数运算法则 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 设=u(x),ν=x)都可导,则 ±y)="±y, (C是常数) (uv)=u'v+uv y-I8V (v (2)复合函数的求导法则 设y=f),而x=以x)且f)及以x)都可导,则复合函数y=八以(x)的导数 为 ax或y(x)=f")(x) (3)反函数求导法则

解：所给函数可分解为 ， ， .因 ， ， ，故 不写出中间变量，此例可这样写： 四、常用的导数公式 （1） ，                  （2） ， （3） ， （4） ， （5） ，           （6） ， （7） ，        （8） ， （9） ，             （10） ， （11） ，          （12） ， （13） ，       （14） ， （15） ，        （16） . 五、基本的导数运算法则 （1）函数的和、差、积、商的求导法则 设 ， 都可导，则 ， （ 是常数）， ， . （2）复合函数的求导法则 设 ，而 且 及 都可导，则复合函数 的导数 为 或 （3）反函数求导法则

若dx存在且不为零,则

若 存在且不为零，则