《高等数学》课程PPT教学课件（数学分析）第三章 第七节 平面曲线的曲率

第七节 第三章 平面曲线的曲率 曲线的弯与切线的转角有关 曲程度1与曲线的弧长有关 M′ 主要内容: 弧微分 曲率及其计算公式 △a ￥三、曲率圆与曲率半径 0

第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M  M M  平面曲线的曲率 第三章

弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB 弧长s=AM=S(x) y y=f(x)B M △sMM′MM M∠ △xMM△x MM′√(△x)2+(△y) O MM b x x+△x MM △ 1+ MM MM △x Im ±1 △x->0MM △S s(x=lim △x→>0 △ 0

一、 弧微分 设 y  f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s  AM  s(x) x s   M M M M    x M M    M M M M    x x y      2 2 ( ) ( ) M M M M     2 1 ( ) x y    x s s x x       0 ( ) lim 2  1 ( y ) x A B y  f (x) a b x o y x M x  x M  y lim 1 0       M M M M x

+(y ds=v1+(y2) dx ex ds=(dx)2+(dy) x=x(t 若曲线由参数方程表示 则弧长微分公式为ds +idt 几何意义:dS=MT M/d d cos C SIn d ds ds o xxtdx x 0

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2     s (x)  2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2     或 2 2 ds  (dx)  (dy) x  dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds  MT cos ; d d   s x sin d d  s y 若曲线由参数方程表示:      ( ) ( ) y y t x x t

曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为△s,对应切线 转角为Aa,定义 弧段△s上的平均曲率 K、△a M △s △S 点M处的曲率 in△a d a K △s ds 注意:直线上任意点处的曲率为0 0

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段s上的平均曲率 s K      M M  s 点 M 处的曲率 s K s       0 lim ds d  注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为

例1求半径为R的圆上任意点处的曲率 解:如图所示, △s=R△a a m a R K=1 △s>0△sR 可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害 R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小 0

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s  R s K s        0 lim R 1  可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M  

曲率K的计算公式 设曲线弧y=f(x)二阶可导,则由 K、da ds tana=y(设一x<a<x 得 a=arctan y da =(arctan y,)'dx d 1+y 又ds=√1+y2dx 故曲率计算公式为K=y (1+y 当y<<1时,有曲率近似计算公式K≈ 0

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan  y  ) 2 2 (    设    得   arctan y  d  (arctan y )dx x y y d 1 2     ds 1 y dx 2    故曲率计算公式为 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y K     K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y  f (x) 二阶可导, 则由

说明: (1)若曲线由参数方程 X=X(O)给出,则 ly=y(o Xy-Xv K (2)若曲线方程为x=(y),则 X K x K 1+y 0

说明: (1) 若曲线由参数方程      ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K     (2) 若曲线方程为 x ( y),则 2 3 (1 ) 2 x x K     2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K       

例2.我国铁路常用立方抛物线y6R 作缓和曲线 其中R是圆弧弯道的半径,是缓和曲线的长度,且l<<R 求此缓和曲线在其两个端点O(0,0),B( 处的曲率 6R 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全,离心力必须 连续变化,因此铁道的 曲率应连续变化 0

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y  作缓和曲线, ) 处的曲率. 6 (0, 0), ( , 2 R l O B l 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化

例2.我国铁路常用立方抛物线y6R 1x3作缓和曲线 其中R是圆弧弯道的半径,是缓和曲线的长度,且l<<R 求此缓和曲线在其两个端点O0,0),B(,)处的曲率 6R 解:当x∈[0,]时 0 2RI 2R R B Rl ∴K X Rl 然K 0:K 6RI 0 R 0

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y  作缓和曲线, 且 l << R. ) 处的曲率. 6 (0, 0), ( , 2 R l O B l 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 解:当 x[0,l ]时, R l 2   0 x Rl y 1    K  y  x Rl 1  显然 0; K x0  R K x l 1   2 2 1 x Rl  y   R B y o x 3 6 1 x Rl y  l

三、曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点,在点y D(a,B) M处作曲线的切线和法线在曲线 T R 的凹向一侧法线上取点D使 M(x, y) DM=R K 把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系 (1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同 0

三、 曲率圆与曲率半径 T y o x D( ,  ) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K DM R 1   把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使