浙江工商大学：《数学建模》课程教学课件（PPT讲稿）初等模型

1911 初等模型

初 等 模 型

1911 1.公平的席位分配

1. 公平的席位分配

问三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系黑 题4)代表会议共20席,按比例分配,三个系 现因学生转系,三系人数为103,63,34,问20席如何分配。 若增加为21席,又如何分配。 系别学生比例20席的分配21席的分配 比 人数(%)比例结果比例结果 对 例 丙 加甲1035151031010.815 系 惯乙6331.56366.6157公 例丙34 17034 3.570 3/平 吗 总和200100.020.0202100021

系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问 题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系 40），代表会议共20席，按比例分配，三个系 分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 比 例 加 惯 例 对 丙 系 公 平 吗 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21

1911 “公平”分配方衡量公平分配的数量指标 法 人数席位当n1/m1=p2m2时,分配公平 A方 B方1272若p/>p2m2,对A不公平 p1/n1-p2/n2~对A的绝对不公平度 p1=150,n1=10,p11=15p1=1050,n1=10,p1/m1=105 p2=100,n2=10,p2/2=10p2=1000,n2=10,p2/n2=100 /,=5 /n2=5 虽二者的绝对 但后者对A的不公平 不公平度相同 程度已大大降低

“公平”分配方 法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1 /n1= p2 /n2 时，分配公平 p1 /n1– p2 /n2 ~ 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1 /n1=15 p2=100, n2=10, p2 /n2=10 p1=1050, n1=10, p1 /n1=105 p2=1000, n2=10, p2 /n2=100 p1 /n1– p2 /n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同 若 p1 /n1> p2 /n2 ，对 A不公平 p1 /n1– p2 /n2=5

“公平”分配方将绝对度量改为相对度量 1911 若p1n1>p2/m2,定义 二P21B=(m1,n2)~对A的相对不公平度 pI 公平分配方案应 类似地定义rB(n1,n2) 使r4,rB尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即 设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B 不妨设分配开始时p1/mn1>p2n2,即对A不公平

公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小 设A, B已分别有n1 , n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1 /n1> p2 /n2 ，即对A不公平 ( , ) / / / 1 2 2 2 1 1 2 2 r n n p n p n p n = A − ~ 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义 rB(n1 ,n2 ) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 “公平”分配方 法 若 p1 /n1> p2 /n2 ，定义

1911 应讨论以下几种情况初始n1mn>n/m2 )若p1/(n1+1)>p2/m2,则这席应给A 2)若p1/(n1+1)p2(m2+1),应计算rA(m1,n2+1) 问:p1Mm12/(n2+1)是否会出现?否! 若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给B

1）若 p1 /(n1+1)> p2 /n2 ， 则这席应给A 2）若 p1 /(n1+1) p2 /(n2+1)， 应计算rB(n1+1, n2 ) 应计算rA(n1 , n2+1) 若rB(n1+1, n2 ) p2 /n2 问： p1 /n1rA(n1 , n2+1), 则这席应给 B

当rg(m1+1,n2)<r4(m1,n2+1,该席给A 1911 r,72的定义 p2 p1 < 该席给A 2(n2+1)n1(n1+1) 否则,该席给B 定义Q2 ,i=1,2,该席给Q值较大的一方 n;(n;+ 推广到m方 分配席位计算Q1 n;(7;+ 该席给Q值最大的一方Q值方法

当 rB(n1+1, n2 ) < rA(n1 , n2+1), 该席给A rA, rB的定义 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 2 2 2 2 +  + n n p n n p 该席给A 否则, 该席给B , 1,2, ( 1) 2 = + = i n n p Q i i i 定义 i 该席给Q值较大的一方 推广到m方 分配席位 该席给Q值最大的一方 Q 值方法 i m n n p Q i i i i , 1,2 , ( 1) 2 =  + 计算 =

GSHAA 三系用Q值方法重新分配21个席位 1911 胺按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系:p1=103,n1=10 用Q值方法分配 乙系:p2=63,n2=6 丙系:p3=34,n3=3 第20席和第21席 1032 第20席Q1= =964, Q2=6394522963 10×11 6×7 3×4 Q1最大,第20席给甲系 10 第21席Q1 1|804,Q2,93同上Q3最大,第 21席给丙系 Q值方法 分配结果甲系11席,乙系6席,丙系4 公平吗? 席

三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 用Q值方法分配 第20席和第21席 第20席 9 6.3 3 4 3 4 9 4.5, 6 7 6 3 9 6.4, 1 0 1 1 103 2 3 2 2 2 1 =  = =  = =  Q = Q Q 第21席 2 3 2 1 8 0.4, , 1 1 1 2 103 Q = Q Q  = 同上 Q3最大，第 21席给丙系 甲系11席，乙系6席，丙系4 席 Q值方法 分配结果 公平吗？ Q1最大，第20席给甲系

进一步的讨论 1911 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 席位分配的理想化准则 已知:m方人数分别为p1,p2y,Pm,记总人数为 P=p+p2+…+m待分配的总席位为N 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2…,nm (自然应有n1+n2+…,+nm=N), n2应是N和p1,…,Pm的函数,即n1=n1(N,p1,…,Pm) 记q=N;P,亡=1,2,…,m,若q均为整数,显然应n=q

进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1 , p2 ,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1 ,n2 ,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, ni 应是 N和 p1 , … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1 , … , pm ) 若qi均为整数，显然应ni=qi

q:=N/P不全为整数时,m1应满足的准则 1911 记q=oor(q)~向≤q方向取整; lq+=cei(q~向≥q方向取整 1)ld≤nsl(=1,2,…,m)即n1必取团,q之 2)n;(,P1,…,Pm)Sn:(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m) 即当总席位增加时,n不应减少 “比例加惯例”方法满足1),但不满足2) Q值方法满足2),但不满足1)。令人遗憾!

qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi ]– =floor(qi ) ~ 向  qi方向取整； [qi ]+ =ceil(qi ) ~ 向  qi方向取整. 1) [qi ]–  ni  [qi ]+ (i=1,2, … , m), 2) ni (N, p1 , … , pm )  ni (N+1, p1 , … , pm) (i=1,2, … , m) 即ni 必取[qi ]– , [qi ]+ 之一 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！