《概率论》课程电子教案（PPT教学课件）第三章 多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布

第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布

§1二维随机变量 二维随机变量: 设E是一个随机试验,样本空间S=(e}设X=Xe) 和y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量,向量(X,Y) 叫做二维随机向量或二维随机变量. sn维随机变量: 设随机试验E的样本空间S={e}.X1,X2,,X是定 义在S上的n个随机变量,则称向量(X1,X2,,yXn)为 n维随机变量(向量) [注]二维随机变量(X,Y的性质不仅与X和Y有关且 还依赖于两者的相互关系

[注]二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X 和Y有关,且 还依赖于两者的相互关系. 设E是一个随机试验, 样本空间S={e}. 设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量, 向量(X,Y) 叫做二维随机向量或二维随机变量. 设随机试验E的样本空间S={e}. X1 ,X2 , … ,Xn是定 义在S上的n个随机变量, 则称向量 (X1 ,X2 , … ,Xn )为 n维随机变量（向量）

8分布函数(联合分布函数) 定义设(XY)是二维随机变量,对于任意实数x,y, F(xy=P(X≤x(Ysp=P{X≤xFs 称F(x,y)为二维随机变量(X,的分布函数或称为 随机变量X和Y的联合分布函数 R<X≤x2<Y功=Fx22)-F)+Fx11)-F(工,)

设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为 随机变量X 和Y 的联合分布函数. F(x, y)  P{(X  x)(Y  y)} ˆ P{X  x,Y  y} x y O (x,y) { , } ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 P x Xx y Yy F x y F x y F x y F x y O x1 x y2 x2 y1 y 定义

分布函数F(x)的性质: 1)Fxy)是变量x和p的不减函数,即 对任意固定的y,当x2xx时,有F(x2,y)≥F(x1); 对任意固定的x,当y2>y1时,有Fx,y2)F(x1) 2)0≤F(x,y)≤1,且 F(-∞,y)=0,F(x,-0)=0,F(-∞,∞)=0,F(+∞,+a)= 3)Fxy)关于x右连续,关于y右连续, 4)对于任意x1<x2,y1<y2,有 F(x2,y2)F(x2,y1)+F(x11)-F(x1y2)≥0

1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的y, 当x2 >x1时,有F(x2 , y) F(x1 ,y); 对任意固定的x ,当y2 > y1时,有F(x, y2) F(x ,y1). 2) 0 F(x,y)  1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 . 3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续, 4) 对于任意x1 <x2 , y1 < y2 ,有 F(x2 , y2)-F(x2 , y1)+ F(x1 ,y1)-F(x1 ,y2)0

二维离散型随机变量 (X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对 ◆二维离散X,的分布律(联合分布律): (X的所有可能取值(x,y),i}1,2…, P{X=x1,Y=y;}=p;,(,j=1,2, ◆1°0≤p;≤1, 满 y1y2…y 足2∑∑Pn P1P12 P1 2 P2l p 分F(x,y)=∑Pi 布函数 ≤ VisE

u二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律): (X,Y)的所有可能取值(xi , yj), i, j=1, 2…, P{X  x ,Y  y }  ˆ p ,( i, j  1,2,) i j ij y1 y2  yj              1 2 21 22 2 11 12 1 i i ij j j p p p p p p p p p   2 1 i x x x Y X (X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对. 2 1. 1 1      j i ij p  1 0   1, pij u  满 足     y y x x ij j i F( x, y) p u 分 布 函 数

例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值 另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值试求 (X,Y)的分布律 解:X=i,i=1,2,3,4,j P(X=i,Y=j]=P(Y=jX=i]P(X=ij= (i=1,2,3,4,jsi) 1/40 300 1/4 8 1/8 1/4 234 4000 1/121/121/12 l/161/161/161/1614 25/4813/487481/161

1 2 3 4 1 2 3 4 Y X 25/48 13/48 7/48 1/16 1/4 1/4 1/4 1/4 1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值, 另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求 (X,Y)的分布律. ( 1,2,3,4, ) 4 1 1 { , } { } { } i j i i P X  i Y  j  P Y  j X  i P X  i    1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16 返 回 X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji

例2某产品8件,其中有2件次品每次从中抽取一件, 不放回,抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到 的次品件数,试求(X,的分布律 解(X,Y的所有取值为(),讠,j=0,1由乘法公式有 P{X=iY=办=P{X=訃·P{Y=jX= 0 15 28 28 28 28

某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件, 不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到 的次品件数, 试求(X,Y)的分布律． 28 1 28 6 28 6 28 15 P{X  i,Y  j}  P{X  i} P{Y  j|X  i} (X,Y)的所有取值为(i, j), i, j = 0,1 由乘法公式有 X Y 0 1 0 1

二维连续型随机变量 定义设二维随机变量(X,的分布函数为F(x,y),若存 在一个非负函数f(x,y),使得对任意x,y,有 F(x,y) f(u, v)dudu 则称(X为二维连续型随机变量,f(xy)称为(X,Y)的 概率密度,或称为X和Y的联合概率密度 +0p+ 性 ∫(x,y)≥0, f(x, y)dxdy=l --OOC-ao 3°f(x,y) 2F(x,y),在f(x,)的连续点 质 axa 4P(X,)∈G}=f(x,y)dt小G是一平面区域

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y), 若存 在一个非负函数f (x, y)，使得对任意x, y ，有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量， f (x,y)称为(X,Y)的 概率密度，或称为X和Y的联合概率密度． ( , ) ( , ) y x F x y f u v dudv      1 f (x, y)  0,  2 ( , ) 1,       f x y dxdy  , ( , ) . F( , ) 3 ( , ) 2 在f x y 的连续点 x y x y f x y      P X Y G f x y dxdy G是一平面区域。 G 4 {( , ) } ( , ) ,    

例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 Cxy,0≤x≤y≤1, f(,y) 其它. (1)确定常数C;(2)求概率P{X+Ys1};(3)求F(x;y) 解(1)D={x,y)0≤x≤y,0≤ysl (2)P{X+Y≤1} x+y≤1 l f(x, y)dxdy x+v<I O

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1) 确定常数C; (2) 求概率P{X+Y 1}; (3)求F(x,y)． . 0 1, 0, , ( , ) 其它        Cxy x y f x y 1 (1) D  {( x, y) 0  x  y, 0  y  1}       1  f (x, y)dxdy   D f (x, y)dxdy 8 1 0 1 C dx Cxydy x      C  8 D     2 1 0 1 8 x x dx xydy (2) P{X Y  1}     1 ( , ) x y f x y dxdy x+y=1 x+y1 O x y 6 1 

(3)F(v)=f(u,r)dvd 当x<0或y0时,F(x,y)=0 当x≤p1,0≤x<1时, F(x, y)=S du su v 2x 22 y -x 当xy,0sy<1时,Fx=D8dm=y 当y21,05X<1时,F(,)=,,8mh=x2-x1 当x≥1,y≥1时,F(x,y)

当x >y, 0  y < 1时， 1 (3)    x y F(x, y) f (u,v)dvdu 当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 当x y<1, 0 x<1 时， v=u 1 0 u v 2 2 4 0 2 8 x y x du uvdv x y u      F( x, y) (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) 4 0 0 dv 8uvdu y y v     F( x, y) (x,y) 当y  1, 0  x <1时，    x u F x y du uvdv 0 1 ( , ) 8 2 4  2x  x 当 x  1, y  1 时， F(x, y)  1 (x,y)