《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 单变量微分学（题解）

第二章单变量微分学 第一节导数和微分 第二节中值定理及其应用

2 第二章 单变量微分学 第一节 导数和微分 第二节 中值定理及其应用

§2.1导数和微分 知识脉络图解 导数的褫念与定义 单侧导数 (1)导数与微分1几何意义 微分的概念与运算法则 基本求导公式 四鹦运算的求导祛则 复合函数的链导法则 2)导数的求社隐函数求导法 参数方程求导法 高阶导数与高阶徼分的求法

3 §2.1 导数和微分

重点、难点解读 l,导数的定义及其几何意义 定义设y=f(x)在D有定义,D,若m(x+)-(n) 一存在则称该极限为y=f(x)在 x的导数记作f(x)或即 ∫( f(x+△r)-f(x) m 导数有下面等价定义形式:f(x)=im f(r)-f(zo IIo 当上述极限不存在时,还可以研究单侧极限 若Im/a+△x)-fa) 存在,则称该极限为f(x)在的右导数记作f(x),即 △r+04

4

=「, 名体考书 m+)-a v.04 ()=hm f(z+Ar)-f() )在x处可导,当且仅当右导数存在且样等 若y=)在x处可导,在该点切线为y=1)+((=) 若y=)10处可号则y2=)在处连续,反之不然

5

2.基本初等函数的导数公式 (])C-0 (2)(x) (3)(sinr)=cosT (4)(comr)=-sinr (5)(tanr)= secx (6)(cotr)=-cse'r (7)(secr)= secctanr (8)(cscr)=-cscrcoti (9)(arcsin)=- (10)(arccos)=- (11)(arctan) (12)(arccot) 1+x + (3)(a)= gIna (14)(c)=e (15)(logx) (16)(lnr)

6

3.求导法则 (1)四则运算求导法则: 若=211=r间+,当u)时,日在可导, 且成立下面求导公式: (())=()±() (()=(x)ux)+ax)(r) Rr (2)复合函数链导法则: 或y(x)=f(a),eg(x

7

3)反函数隐函数及参数方程表示的函数的导数: 若(|)()在动的某一邻域内连续E严格单调(y=(x) )(在 T〓 4.黴分及其运算 定义设y=/(x在D有定义,x∈D定义函数增量y=+)-,若4=A△y+△, 其中A与2无共,为z的函数则称你x)在的可微,A称为)在r的微分记作d=A△rdy=A 而A△r他也称为函歌增量ay的线性主部 y=)在r的可微,当且仅当y=f()在x的可导,并且成立小=f(n)d

8

运算性质 (2)d(u)4 udv 3)-) -阶微分形式不变性: :==在可减(时t

9

5.高阶导数与高阶题分 设y=f(r)在D上可导其导数为f(x)若f(x)作为函数,仍然可导称其导数为y=f()的二阶 导数记作yx)=(y(a),小一y(x) 类似地可以定义三阶导数n阶导数记作y()=(y=(n.2==y(t 运算法则: (1)(a士)2-° (2)en2公式)=Cn°n“+Cv“1+C:+…+Cn"y",中n"“,=a,C 表示组合数 高阶撒分dy)=“f(r))=df(x)dx=/xd,称为二阶微分,记作小y 类似地,可以定义三阶分,dy=dy)=鬥(dr, 般地,n阶懒分y=dy)=f(rl∴

10

课程考试考研要点点击 ()掌握导数的概念及其几何意义,掌握单侧导数与导数间的关系 (2),记基本初等函数的导数公式; (3)掌握函数四则运算求导法则和复合函数求导法则 (4)掌握微分的概念及其运算法则 (5)拿握隐函数求导法和参数方程求导法; (6)掌握简单函数的高阶导数、高阶徽分的求法,会用Lebi公式求解乘积项的高阶导数

11