《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）泰勒公式与极值问题

§4泰勒公式与极值问题 就本节自身而言,引入高阶偏导数是导出 泰芳公式的需要;而泰芬公式除了用于近似 计算外,又为建立极值判别准则作好了淮备 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 前页)(后页)(级回

前页 后页 返回 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备. 三、极值问题 返回 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式

高阶偏导数 由于z=f(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)一般仍 然是x,y的函数,如果它们关于x与y的偏导数也 存在,说明∫具有二阶偏导数.二元函数的二阶偏 导数有如下四种形式: ∫、(x,y)= ax2 ax ax az 8 az ∫ xy( s axay ay(a 前活

前页 后页 返回 一、高阶偏导数 ( , ) ( , ), ( , ) x y 由于 的偏导数 一般仍 z f x y f x y f x y = 然是 的函数 x y, , 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 2 2 ( , ) , x x z z f x y x x x      = =       2 ( , ) , x y z z f x y x y y x      = =        存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏

02z a az fra(x, 1)=aox oxley), a z a/az yy 2 0y20 y(oy 类似地可以定义更高阶的偏导数,例如z=f(x,y) 的三阶偏导数共有八种情形: a aa ax ax f 3(x,y), 前 后

前页 后页 返回 2 ( , ) , y x z z f x y y x x y      = =        2 2 ( , ) . y y z z f x y y y y      = =       类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f x y = ( , ) 的三阶偏导数共有八种情形: 3 3 2 3 ( , ), x z z f x y x x x        = =     

a az 02z ayl ax 2 xyr(x,y),fxv2(x, y), fya MMa(x,y),fyxy(x, y), fvx(x,y) 例1求函数z=ex+2的所有二阶偏导数和 ayax 解由于 z az e x+2y =e x+2y ax ay 前 后

前页 后页 返回 2 2 2 2 ( , ), x y z z f x y y x x y        = =       x yx ( , ), ( , ), ( , ), 2 3 x y y f x y f x y f x y 2 2 ( , ), ( , ), ( , ). yx y y x yx f x y f x y f x y 解 由于 2 2 e , 2e , z z x y x y x y   + + = =   例1 3 2 2 e . x y z z y x +  =   求函数 的所有二阶偏导数和

因此有 02z x+2 x+2 e ax 2 ax axay ove x+2y)=2e x+2 02z0 next avax ax )=2ex+2 02z0 y ,(2e x+2y )=4e x+2y。 前 后

前页 后页 返回 因此有 2 2 2 2 (e ) e ; z x y x y x x   + + = =   2 2 2 (e ) 2e ; z x y x y x y y   + + = =    2 2 2 (2e ) 2e ; z x y x y y x x   + + = =    2 2 2 2 (2e ) 4e ; z x y x y y y   + + = =  

a az (2e x+2y )=2e x+2y vax 2 xanax ax 例2求函数z= arctan”的所有二阶偏导数 解因为 az y az 所以二阶偏导 ax x"+y 2 ay x+y 数为 02z_b(=y 2xy ax 2 2、2 xx2+y2)(x2+y2) 前 后

前页 后页 返回 3 2 2 2 2 (2e ) 2e . z z x y x y y x x y x x + +       = = =           解 2 2 2 2 , , z y z x x y x y x y  −  = =   + + 因为 所以二阶偏导 数为 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x x y x y x   −   = =    + +    例2 arctan . y z x 求函数 的所有二阶偏导数 =

02z 2 2 y axay ay(x+y az a 2 ayax ax(x2+y2)(x2+y2) 2xy ayx+ 2 2 J (x2+y2)2 注意在上面两个例子中都有 02z0 axay ayax 前 后

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x y y x y x y   − −   = = −        + + 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z x x y y x x x y x y   −   = = −        + + 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) z x x y y x y x y y   −   = =    + +    注意 在上面两个例子中都有 2 2 , z z x y y x   =    

即先对x后对p与先对y后对x的两个二阶偏导 数相等(称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导 数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都 成立,例如函数 2 x -y y x2+y2≠0 f(, y)= x+y x2+y2=0 它的一阶偏导数为 前 后

前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y xy x y f x y x y x y  −  +  =  +   + = 它的一阶偏导数为 即先对 、后对 与先对 、后对 的两个二阶偏导 x y y x 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导

y(x+4x y-y x十1≠ 0 f(x,y)=(x2+y2)2 0. x2+y2=0; x(x4-4x2y2-y2) x+1≠ ∫,(x,y)= 2、2 (x2+y2) 2 r t y 0. 进一步求∫在点(0,0)关于x和p的两个不同顺序 的混合偏导数: 前 后

前页 后页 返回 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0; x y x x y y x y f x y x y x y  + −  +  =  +   + = 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0. y x x x y y x y f x y x y x y  − −  +  =  +   + = 进一步求 在点 f (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序 的混合偏导数:

,0.0)=im0,△y)/0.0=m=4 △y→0 △ △y→0△ f,1(0,0)=lim f∫1(△x,0)-f,(0,0) △x 1 △x→>0 △x △x→0△x 由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此 先按定义把f∫1(x0,y0)与fx(x02y)表示成极限形 式.由于 f(x,y)=lim f(x+△x,y)-f∫(x,y) △x→0 △x 页)后页)回

前页 后页 返回 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1, x x x y y y f y f y f  →  → y y  − −  = = = −   0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1. y y y x x x f x f x f  →  → x x  −  = = =   由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 表示成极限形 式. 由于 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y  → x +  − = 