《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 解析函数的级数表示（The representation of power series of analytic function）

第四章解析函教的级数表示 (The representation of power series of analytic function §4.1复数项级数 §4.2文变函数项级数 §4.3泰勒( Taylor)级数 §4.4洛朗( arent)级数

第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒（Taylor）级数 §4.4 洛朗(Laurent)级数

第一讲 §4.1复数项级数 §4.2复变函数项级数

第一讲 §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数

§4.1复数项级数 (Series of complex number) 复数序列的极限 复数项级数

§4.1 复数项级数 一、复数序列的极限 二、复数项级数 (Series of complex number）

复教序列的极限 设{n}(n=1,2,)为一复数列,其中 zn=xn+n,又设=x0+iy0为一确定的复数 如果对于任意给定>0,总存在正整数(), 当n>N时,有乙n-<E 那末z称为复数列zn}当n→0时的极限记作 n→0 此时也称复数列乙n收敛于

一、复数序列的极限 那 末z 称为复数列{z }当n → 时的极限, 0 n 记作 lim . 0 z z n n = → { } . 0 z z 此时也称复数列 n 收敛于 设{z } (n =1,2, )为一复数列 ,其中 n , n n n z = x + iy y , 又设z0 = x0 + i 0 为一确定的复数 . , ( ),     −   0 0 n N z z N 当 时，有 n 如果对于任意给定 总存在正整数

定理4设复数列(n=an+bn},=a+,则 iman=c的充分必要条件是 n→ lim a limb=b n→∝ 证明如果lman=a,那末对于任意给定E>0 就能找到一个正数N,当n>N时, (a,+ibm,)-(a+ ib)<e, 从而有n-a≤(an-a)+i(bn-b)<E, 所以 lima=a.同理 limb=b n→0

就能找到一个正数N, 从而有 lima a. n n = 所以 → limb b. n n = 同理 →   的充分必要条件是 设复数列 则     = = + = + → n n n an bn a b lim 定理4.1 i , i , 证明 那末对于任意给定   0

反之如果 lim a=a,limb=b 那末当n>N时,an-a0o

反之, 如果 lim a a, lim b b, n n n n = = → → 从而有 [证毕]

二、复数项级数 设{a是一复数列,则 ∑an=a1+a2+…+an+ (4.1) n=1 称为复数项级数 Sn=C1+a,十…+, 称为级数的部分和 若{n}(n=1,2,,)以有限复数s为极限, 即 n>h=(≠0

称为复数项级数. 称为级数的部分和. 若{sn }(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 二、复数项级数 即 设n 是一复数列，则

则称复数项无穷级数(.1)收敛于s,且称s为 (4.1)的和,写成S=∑a 否则称级数(4.1)为发散 例1级数∑z 0 解:S=1+z+x2+…+1 z≠ 由于当z<1时,imsn=lim n→0 n→ 所以当2<1时级数收敛.且和为

则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为 (4.1)的和,写成 否则称级数(4.1)为发散.   =0 1 n n 例 级数 z ( 1), 1 1  − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z =   = = n 1 S  n

定理42复级数 ∑αn=α1+a2+…+an+…其中n=an+i n=1 收敛于s=a+ib(ab为实数)的充要条件为: ∑ )々令 ∑bn=b

定理4.2 复级数 收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: a a b b n n n  n =  =  =  =1 1 n n n n n n  = + + + + = a + i b  =  1 2    其 中 1

例2判断下列级数敛散性 ∑-(+ ∑(1+ 解(1)因为∑a=∑发散 ∑b=∑收敛.所以∑(1+发散 (2)因为∑an=∑收敛; n= ∑b=∑收敛.所以原级数收敛 n-1 n

解（1） （2）