苏州大学：《计算方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 算法与误差

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1 第一章 算法与误差

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 1、误差的来源 1.1模型误差 熟效 定量分析时,抓住事物的主要因素而忽略其次要 因素,建立起来的数学模型与现实原型之间必然有着 某些差距和差异,它是现实原型的近似。称这种误差 为模误养, 2021年2月10日星期三 2

2021年2月10日星期三 2 1、误差的来源 1.1 模型误差 定量分析时，抓住事物的主要因素而忽略其次要 因素，建立起来的数学模型与现实原型之间必然有着 某些差距和差异，它是现实原型的近似。称这种误差 为模型误差

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 1.2截断误差 在将连续问题离散化的过程中,在将无限问题有 限化的过程中,因为计算机只能完成有限次运算而产生 的误差称为截断误差或方法误差。X n=o 例1、讨论 Eul数e的计算:e=∑ n=0! ) 计算已需要选择一个整数N近似值c=∑8 H=1 n 如果没有其它误差,那么c-c就是截断误差了。艺n 3

3 例 1、讨论 Euler 数 e 的计算： 1 1 ! n e n  = =  . 计算 e,需要选择一个整数 N,近似值 * 1 1 ! N n e = n =  。 如果没有其它误差，那么 * e e − 就是截断误差了。 1.2 截断误差 在将连续问题离散化的过程中，在将无限问题有 限化的过程中，因为计算机只能完成有限次运算而产生 的误差称为截断误差或方法误差

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 1.3数值运算误差 对数进行运算,无论是人工还是计算机,都只能计 算有限位数,与原始数据之间可能有坐误差,而每一步 计算的过程也可能因四舍五入而产生误差,我们称这种 误差为数值运算误差或舍入误差 在数值计算中,主要研究截断误差和舍入误差对计 算结果的影响,模型误差是应用科学和数学建模研究的 对象。 4

4 在数值计算中，主要研究截断误差和舍入误差对计 算结果的影响，模型误差是应用科学和数学建模研究的 对象。 对数进行运算，无论是人工还是计算机，都只能计 算有限位数，与原始数据之间可能有些误差，而每一步 计算的过程也可能因四舍五入而产生误差，我们称这种 误差为数值运算误差或舍入误差。 1.3 数值运算误差

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 2误差的基本概念 21绝对误差 准确值x与其近似值x之差称为x的绝对误差(误差), 记为e(x),简记为e Xx ID elx X-X 但一般来说,不能准确知道(x)的大小有时可以通过测量 或分析、计算估计其绝对值的上界 5

5 2 误差的基本概念 2.1 绝对误差 准确值 x 与其近似值 * x 之差称为 * x 的绝对误差（误差）， 记为 ( ) * e x ，简记为 * e ． ( ) * * e x x x = − ． 但一般来说，不能准确知道 ( ) * e x 的大小．有时可以通过测量 或分析、计算估计其绝对值的上界．

圳k学1计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 如果c(x)满足: E(xx) elx x-X EIX 那么E(x)叫做x的绝对误差限,(误差限、绝对误差) 简记为E。 6

6 如果 *  ( ) x 满足： * * * e x x x x ( ) ( ) = −   那么 *  ( ) x 叫做 * x 的绝对误差限，(误差限、绝对误差)。 简记为 * 

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 例2.设√3=1.73205…,求√3的近似值,使其绝对误差 限不大于×103。 解:因为√3=1.73205…由于 a*(.732)=3-1732000 所以x*=1.732 事实上,这个误差限,就是在准确值第三位小数后 面进行舍入得到 7

7 例 2. 设 3 1 73205 = . ，求 3 的近似值，使其绝对误差 限不大于 3 10 2 1 −  。 解：因为 3 1 73205 = . ．由于  *(1.732) = 3 −1.732  0.0005 ， 所以 x * =1.732。 事实上，这个误差限，就是在准确值第三位小数后 面进行舍入得到．

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 2.2相对误差 设准确值x的近似值x,称: 0 elx e, (x) X 为近似数x的相对误差,简记为e, 如果(x)满足:1(x)=x ≤E,(x), 则称c(x)为近似数x的相对误差限 8

8 2.2 相对误差 设准确值 x 的近似值 * x ,称： * * ( ) ( ) r e x e x x = 为近似数 * x 的相对误差，简记为 * r e 。 如果 * ( ) r  x 满足： * * * ( ) ( ) ( ) r r e x e x x x =   ， 则称 ( ) * x r  为近似数 * x 的相对误差限

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 相对误差限简称相对误差,简记为6 在实际运用中,x通常是不知道的,因而常用下式代替相对 误差 、e(x) e.(x) 9 W 相对误差一般用百分数来表示。 9

9 相对误差限简称相对误差，简记为 * r  。 在实际运用中，x 通常是不知道的，因而常用下式代替相对 误差 * * * ( ) ( ) r e x e x x = ， 相对误差一般用百分数来表示

數学科学学院 计算方法 chool ol athematical deemed 法光先栖松林 例3.设x*=-2.18,y*=2.1200分别是由准确值x和y经过 四舍五得到的近似值,间E(x)(y)、E,(x)、E,(y) 分别是多少? 10

10 例 3. 设 x* = −2.18, y* = 2.1200 分别是由准确值 x 和 y 经过 四舍五入得到的近似值，问 ( *) x 、 ( *) y 、 ( *) r  x 、 ( *) r  y 分别是多少？