《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程模型

第六章微分方程模型 歉学建模 「

第六章 微分方程模型

经济增长模型 歉学建模 「

一、经济增长模型

发展经济、提高生产力主要有以下手段:增加投资 增加劳动力、技术革新. 本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关 系,然后再研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益 最大,最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率,使劳 动生产率得到有效的增长 歉学建模

发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、 增加劳动力、技术革新. 本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关 系，然后再研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益 最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳 动生产率得到有效的增长

1 Douglas生产函数 用Q()K(),L()分别表示某一地区或部门在时 刻t的产值、资金和劳动力,相互的关系为 Q()=FK(),L() (1) 其中F为待定函数,对于固定的时刻t,上面的函数简 记为 Q=F(K,L 歉学建模

1.Douglas生产函数 用 分别表示某一地区或部门在时 刻 的产值、资金和劳动力，相互的关系为 Q t K t L t ( ), , ( ) ( ) t Q t F K t L t ( ) =   ( ), ( )   ⑴ 其中 为待定函数，对于固定的时刻 上面的函数简 记为 F t, Q F K L = ( , .)

现来探讨函数F的具体表达式,引入记号 K 分别表示每个劳动力的产值和投资。有如下的假设:z 随着y的增加而增加,但增长速度递减。从而可以假设 为 (0

现来探讨函数 F 的具体表达式，引入记号 , , Q K z y L L = = 分别表示每个劳动力的产值和投资。有如下的假设： 随着 的增加而增加，但增长速度递减。从而可以假设 为 y z z cy , . (0 1)  =    ⑵ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

函数g(y)=y满足上面的要求,常数C>0可看成是 技术的作用。将上面的形式代入到(1)中,即 O=ZL=Cy L=C KL L=ck La(3) 由(3)式知函数Q有如下的性质 0O oO OK. aK OL2 O (4) 歉学建模

函数 满足上面的要求，常数 可看成是 技术的作用。将上面的形式代入到⑴中，即： g y y ( )  = c  0 1 . ⑶ K Q zL cy L c L cK L L       − = = = =     由⑶式知函数 Q 有如下的性质： 2 2 2 2 , 0, , 0. Q Q Q Q K L K L           ⑷

(4)式的具体意义是:产值是资金和劳动力的递增函数, 但增长率逐渐下降(即加速度为负数).(见前图) e记Qk 从DQ表示单位资金创造的产值(又称为对 资金的边际产值);Q aL Q表示单位劳动力能创造 的产值(又称为对劳动力的边际产值).则从(3)式得到 oso LQL=1-a. KQk+LQL=Q KO (5) 歉学建模

⑷式的具体意义是：产值是资金和劳动力的递增函数， 但增长率逐渐下降（即加速度为负数）.（见前图） 记 k k , 表示单位资金创造的产值（又称为对 Q Q Q K  =  , L L Q Q Q L  =  资金的边际产值）； 表示单位劳动力能创造 的产值（又称为对劳动力的边际产值）. 则从⑶式得到 , 1 . . k L K L KQ LQ KQ LQ Q Q Q = = − + =   ⑸

(5)的具体意义是:是资金在产值中占有的份额,1-c 是劳动力在产值中占有的份额。所以c的大小直接反映 了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。 (3)式是经济学中著名的Cobb- Douglas生产函数,更 一般的形式是 Q=cK L, 0

⑸的具体意义是： 是资金在产值中占有的份额， 是劳动力在产值中占有的份额。所以 的大小直接反映 了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。  1−  ⑶式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，更 一般的形式是 Q cK L , 0 , 1.   =    

2资金与劳动力的最佳分配 6本段根据(3)式讨论,如何分配资金与劳动力,使生产 创造的效益达到最大。 假定资金来自贷款,利率为每个劳动力都要支付工 心资w,因而总效益为 s=Q-rK-wL (6) 则相应的问题转化为资金与劳动力的分配比例K/L (即每个劳动力占有的资金),使效益S为最大 歉学建模

2.资金与劳动力的最佳分配 本段根据⑶式讨论，如何分配资金与劳动力，使生产 创造的效益达到最大。 假定资金来自贷款，利率为 每个劳动力都要支付工 资 因而总效益为 r, w, 则相应的问题转化为资金与劳动力的分配比例 （即每个劳动力占有的资金），使效益 为最大。 K L/ S S Q rK wL = − − . ⑹

此问题由微分法可得到(为一个求极值的问题)。在(6) 式两边对KD求导,并令其为零,则有 K=Qr 0,S2=Q2-v=0. K 再由(5)式;可得到 K a w L 1-a r 此即为资金与劳动力的最佳分配。 歉学建模

此问题由微分法可得到（为一个求极值的问题）。在⑹ 式两边对 求导，并令其为零，则有 . K L Q r Q w = ⑺ 再由⑸式；可得到 此即为资金与劳动力的最佳分配。 . 1 K w L r   = − ⑻ K L, 0, 0. K K L L S Q r S Q w = − = = − =