《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 一些特殊矩阵

第六章一些特殊矩阵 §6.1正规矩阵

第六章 一些特殊矩阵 §6.1 正规矩阵

正规矩阵 定义6.1设A∈Cm,若AA=AA,则称A为正规矩阵 定理6.1矩阵A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,且对角矩阵的对角元 素可根据需要排序 定理6.2设A和B都是正规矩阵,且AB=BA,则存在酉矩阵U,使得UAU和 UBU同时为对角矩阵(即A和B有相同特征向量) 注记 若A是n×n实矩阵,满足AA4=AA,则称A为(实)正规矩阵

正规矩阵 定义 6.1 设 n n A C   ，若 H H AA A A = ，则称 A 为正规矩阵. 定理 6.1 矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 为正规矩阵, 且对角矩阵的对角元 素可根据需要排序. 定 理 6.2 设 A 和 B 都是正规矩阵，且 AB BA = ，则存在酉矩 阵U ，使 得 H U AU 和 H U BU 同时为对角矩阵（即 A 和 B 有相同特征向量）. 注记 若 A 是n n 实矩阵，满足 T T AA A A = , 则称 A 为（实）正规矩阵

§62 Hermite矩阵

§6.2 Hermite矩阵

Hermite阵 定义62设矩阵A∈C,若A=A,则称矩阵A为 Hermite矩阵.(若A=A∈CnN,则称矩阵A为复对称矩阵) 定理6.3A∈C"为 Hermite矩阵分 (Ax,x)∈R,vx∈Cn

定义 6.2 设矩阵 n n A C   ，若 = H A A ，则称矩阵 A 为 Hermite 矩阵.（若 = T n n A A C   ，则称矩阵 A 为复对称矩阵） 定理6.3 n n A C   为 Hermite 矩阵  ( ) Ax x R ，  ， n  x C . Hermite 阵

Hermite阵 定理64A∈C"为 Hermite矩阵◇>存在酉阵U,S.t. UAU=A 为实对角矩阵(即A酉相似于对角矩阵∧).称其为矩阵A的谱分解. 推论: Hermite矩阵的特征值是实数,且有标准正交的特征向量基. 注:若矩阵A满足A=A是实对称矩阵,则U为实正交矩阵

Hermite 阵 定理 6.4 n n A C   为 Hermite 矩阵  存在酉阵 U，s.t. H U AU =  为实对角矩阵（即 A 酉相似于对角矩阵 ）. 称其为矩阵 A 的谱分解. 推论：Hermite 矩阵的特征值是实数，且有标准正交的特征向量基. 注：若矩阵 A 满足 T A A = 是实对称矩阵，则U 为实正交矩阵

Hermite阵 定理65设A,B为 Hermite矩阵,则A,B同时酉相似于 实对角矩阵AB=BA

Hermite 阵 定理 6.5 设 A B, 为 Hermite 矩阵，则 A B, 同时酉相似于 实对角矩阵  AB BA =

Rayleigh商 设A是n阶 Hermite矩阵,称 R(x)=r(x)= (Ax, x) x≠0 为A的 Ray leigh商(实数)

Rayleigh商 设 A 是n 阶 Hermite 矩阵，称 ( , ) ( ) ( ) ( , ) A Ax x R x R x x x = = ， x  0 为 A 的 Rayleigh 商（实数）

Hermite矩阵的特征值性质 定理66 1)R(kx)=R(x),k∈C.(零齐次) 2)R(x)是x的连续函数,即R(x)-R(y)≤clx-y 3)存在常数M≥m,使得m≤R(x)≤M对任意x成立, 且上下界皆可达到

Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.6 1) R kx R x ( ) ( ) = ， k C .（零齐次） 2) R x( )是 x 的连续函数，即 R x R y c x y ( ) ( ) −  − . 3) 存在常数 M m ，使得 m R x M   ( ) 对任意 x 成立， 且上下界皆可达到

Hermite矩阵的特征值性质 定理67设n阶矩阵A满足A=A,若v,vn∈C",有 1=R(v),2=R(V), 则成立Av1=1v,Avn=1nvn

Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.7 设 n 阶矩阵 A 满足 H A A = ，若 1 , n n v v C  ，有 1 1 ( ), ( )   = = R v R v n n ， 则成立 1 1 1, Av v Av v = =   n n n

Hermite矩阵的特征值性质 定理68(极小极大原理)设A=A,1≥12…≥n为其特征值,则 A=max min r(x) 极大极小 SK =mn·max(x 极小极大 Snk41x∈S 其中S三C"为k维子空间 推论:设A同定理68,则存在k维子空间V与n-k+1维子空间 n-k+1 使得 n =min r(x)=max r(x) X∈Vn-k+1

Hermite矩阵的特征值性质 定理 6.8 （极小极大原理）设 H A A = ，   1 2    n 为其特征值，则 max min ( ) k k k S x S  R x  =  极大极小 1 1 min max ( ) n k n k S x S R x − +  − + =  极小极大 其中 n k S C  为 k 维子空间. 推论：设 A 同定理 6.8，则存在k 维子空间Vk 与n k − +1维子空间 Vn k − +1，使得 1 min ( ) max ( ) k n k k x V x V  R x R x   − + = =