《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 谓词逻辑

第二章谓词逻辑 在命题逻辑中,主要研究命题与命题之间的 逻辑关系,其组成单元是原子命题,而原子 命题是以一个具有真假意义的完整的陈述句 为单位,不考虑其结构、成分(如主语,谓 语等),对原子命题的联接关系的研究,不 可能揭示原子命题的内部的特征。因此存在 着很大的局限性:不能表达出每个原子公式 的内部结构之间的关系,使得很多思维过程 不能在命题逻辑中表示出来,例如著名的苏 格拉底三段论 1/84

1/84 第二章 谓词逻辑 在命题逻辑中，主要研究命题与命题之间的 逻辑关系，其组成单元是原子命题，而原子 命题是以一个具有真假意义的完整的陈述句 为单位，不考虑其结构、成分(如主语，谓 语等)，对原子命题的联接关系的研究，不 可能揭示原子命题的内部的特征。因此存在 着很大的局限性：不能表达出每个原子公式 的内部结构之间的关系，使得很多思维过程 不能在命题逻辑中表示出来，例如著名的苏 格拉底三段论

第二章谓词逻辑 P:所有的人都是要死的; Q:苏格拉底是人; R:所以,苏格拉底是要死的。 显然,这三个命题有着密切的关系,当P和Q 为真时,R必定为真,即R应该是P,Q的逻 辑结果:即P∧QR永真。但实际上并非如 此:当P,Q取“1”,而R取“0”时 P∧QR0,即P∧Q→R不是永真公式, 即P R不成立。用命题逻辑已无法正 确地描述上述情况。 2/84

2/84 第二章 谓词逻辑 P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人； R：所以，苏格拉底是要死的。 显然，这三个命题有着密切的关系，当P和Q 为真时，R必定为真，即R应该是P，Q的逻 辑结果：即P∧Q→R永真。但实际上并非如 此：当P，Q取“1”，而R取“0”时 P∧Q→R 0，即P∧Q→R不是永真公式， 即P，Q=>R不成立。用命题逻辑已无法正 确地描述上述情况

第二章谓词逻辑 问题出现在哪里呢? 问题在于这类推理中,各命题之间的逻辑关 系不是体现在原子命题之间,而是体现在构 成原子命题的内部成分之间,即体现在命题 结构以及深层次上,对此,命题逻辑无能为 力 所以在研究某些推理时,有必要对原子命题 作进一步的分析,因此有必要引入谓词逻辑 的概念。 3/84

3/84 第二章 谓词逻辑 问题出现在哪里呢？ 问题在于这类推理中，各命题之间的逻辑关 系不是体现在原子命题之间，而是体现在构 成原子命题的内部成分之间，即体现在命题 结构以及深层次上，对此，命题逻辑无能为 力。 所以在研究某些推理时，有必要对原子命题 作进一步的分析，因此有必要引入谓词逻辑 的概念

21谓词逻辑的基本概念与表示 在命题逻辑中,命题是具有真假意义的陈述 包,从语法上分析一个陈述句由主语和谓 语两部分组 “阿星是中科大学生” “小强是中科大学生” 若用命题 分别表示上述两句话 是两个毫无关系的命题,这两个命题所表 的判断乏间没有任何逻辑答系但惠实 详们有一个共同的特性:“是中科大 因此,若将句子分解为:主语+谓语,同时 将 的 兽谓语部分抽取出来,则可以表示这 484

4/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述 句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓 语两部分组成，比如： “阿星是中科大学生” “小强是中科大学生” 若用命题P，Q分别表示上述两句话，则P， Q是两个毫无关系的命题，这两个命题所表 达的判断之间，没有任何逻辑关系。但事实 上它们有一个共同的特性：“是中科大学 生”。 因此，若将句子分解为：主语+谓语，同时 将相同的谓语部分抽取出来，则可以表示这 一类的语句

21谓词逻辑的基本概念与表示 此时,若用P表示:P:是中科大学生,P后 紧跟:“某某人”,则上述两个句子可写为 P(阿星);P(小强) 因此,为了揭示命题内部结构以及命题的 内部结构的关系,就按照这两部分对命题进 行分析,分解成主语和谓语,并且把主语称 为个体词或客体,而把谓语称为谓词。 5/84

5/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 此时，若用P表示：P：是中科大学生，P后 紧跟：“某某人”，则上述两个句子可写为： P(阿星)；P(小强)。 因此，为了揭示命题内部结构以及命题的 内部结构的关系，就按照这两部分对命题进 行分析，分解成主语和谓语，并且把主语称 为个体词或客体，而把谓语称为谓词

21谓词逻辑的基本概念与表示 21.1谓词 定义21:在原子命题中,可以独立存在的客 体(句子中的主语,宾语等),称为个体词 ( Individual)。而用以刻画个体词的性质或个 体词之间的关系的词即是谓词( Predicate 单纯的谓词或单纯的个体词都无法构成一个 完整的逻辑含义,只有将它们结合起来才能 构成一个完整的,独立的逻辑断言。 6/84

6/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 2.1.1谓词 •定义2.1：在原子命题中，可以独立存在的客 体(句子中的主语，宾语等)，称为个体词 (Individual)。而用以刻画个体词的性质或个 体词之间的关系的词即是谓词(Predicate)。 •单纯的谓词或单纯的个体词都无法构成一个 完整的逻辑含义，只有将它们结合起来才能 构成一个完整的，独立的逻辑断言

21谓词逻辑的基本概念与表示 °定义22;个体词和谓词根据其具有的抽象 分为两种: (1表示具体或特定的个体词称为个体常量 Individual constant 般个体词常量用 小写字母a,b,C,表示;表示抽象的或泛指 一般用xy,等表; 体变量( Individual variable) 示具地件质关天段课福较药最逻指 性质现关系谓词称热请词含er:e Variable,谓 表示 7|84

7/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 •定义2.2：个体词和谓词根据其具有的抽象 分为两种： (1).表示具体或特定的个体词称为个体常量 (Individual Constant)，一般个体词常量用 小写字母a, b, c, …表示；表示抽象的或泛指 的个体词称为个体变量(Individual Variable), 一般用x, y, …等表示； (1).表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量 (Predicate Constant)，表示抽象的或泛指的 性质或关系的谓词称为谓词变量(Predicate Variable)，谓词一般都用大写字母F, G, H, …表示

21谓词逻辑的基本概念与表示 例2-1:指出下列命题的个体词和谓 词 (1)合肥是一个省会城市, (2)离散数学是计算机的基础课程, (3)姚明是一名篮球健将, (4)人是聪明的。 8/84

8/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 •例2-1：指出下列命题的个体词和谓 词。 (1).合肥是一个省会城市， (2).离散数学是计算机的基础课程， (3).姚明是一名篮球健将， (4).人是聪明的

21谓词逻辑的基本概念与表示 定义2.3:(1)个体词的取值范围称为个体域 (或论域( ndividual field),常用D表示;(2) 宇宙间所有个体域聚集在一起构成的个体域 称为全总个体域( Universal individual field) 定义24:设D为非空的个体域,定义在D” (表示n个个体都在个体域D上取值)上取值于 0,1}上的n元函数,称为n元命题函数或n 元谓词( Propositional function),记为P(x1 x2,…,xn),此时个体变量x1,x2,…,xm的定 义域都为D,P(x1,x2,…,xn)的值域为{0, 9/84

9/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 •定义2.3：(1)个体词的取值范围称为个体域 (或论域)(Individual Field)，常用D表示；(2) 宇宙间所有个体域聚集在一起构成的个体域 称为全总个体域(Universal Individual Field)。 •定义2.4：设D为非空的个体域，定义在 (表示n个个体都在个体域D上取值)上取值于 {0，1}上的n元函数，称为n元命题函数或n 元谓词(Propositional Function)，记为P(x1, x2, …, xn)，此时个体变量x1, x2, …, xn的定 义域都为D， P(x1, x2, …, xn)的值域为{0， 1}。 n D

21谓词逻辑的基本概念与表示 例2-2:符号化如下命题 P:上海是一个现代化城市; Q:甲是乙的父亲; R:3介于2和5之间; T:布什和萨达姆是同班同学。 注意: (1)谓词中个体词的顺序是十分重要的,不能随意变 更。如F(b,c)与F(c,b)的真值就可能不同; (2)-元谓词用以描述一个个体的某种特性,而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系; 1084

10/84 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示 •例2-2：符号化如下命题。 P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。 •注意： (1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如F (b, c)与F (c, b)的真值就可能不同； (2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；