华中科技大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 微分方程方法建模

Mathematical Modeling 2012 第三章微分方程方法建模 3.1微分方程建模 3.2草地水量模到 3.3传染病棋型 3.4_食佴-捕食者模型 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 第三章 微分方程方法建模 3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型

Mathematical Modeling 2012 3.1微分方程建模 微分方程模剋属于动忞模型 >描述所研究对象特征随时间空间)的演变过程 >分析所研究对象特征的变化规律 >预报所研究对象特征的未来性态 研究控制所研究对象特征的手段 微分方程建模方法 >根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设 >按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 微分方程模型属于动态模型 ➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段 ➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 微分方程建模方法 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程 3.1 微分方程建模

Mathematical Modeling 2012 3.1微分方程建模 31.1人的体重 3.12常微分方程建模基本准则 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则 3.1 微分方程建模

Mathematical Modeling 2012 问题研究此人的体重随时间变化的规律 某人的食量是10467(焦/天),其中5038 (焦天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗) 在健身训练中,他所消耗的热量大约是69(焦/ 公斤天)乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效, 而1公斤脂肪含热量41868焦。 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 3.1.1 人的体重 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。 问题 研究此人的体重随时间变化的规律

311人的体重 Mathematical Modeling 2012 体重w 问题分析时,三函数w(,连续可微 找到体重w(满足的微分方程即可求出函数w “变化率 “导数” 微元法 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 问题分析 体重w 时间t 函数w(t) , 连续可微 找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t) “变化率” “导数” 微元法 3.1.1 人的体重

311人的体重 Mathematical Modeling 2012 选一步分析 由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化=输入一输出 输入=扣除基太的新吃A谢之与的离量吸收 净吸收量大=10467(焦/天)-5038(焦天) 输出 =5429焦/天) 运动消耗天=69焦(公斤天)×w(0(公 斤) 导数意义的陈述 体重的变化/天=净吸收量/天一运动消耗/天 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 输出＝进行健身训练时的消耗 进一步分析 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天 导数意义的陈述 净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天) ＝5429(焦/天) 运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公 斤) 3.1.1 人的体重

3人的体重 Mathematical Modeling 2012 模型建立 连续函数w(的瞬时关系满足下面关系式 体重的变化/天 (t+△)-w( (公斤天) △t =△w/△(公斤天) 将两单位换算成统一形式: 公斤/天= 焦/天 41868焦/公斤 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 体重的变化/天＝ w t t w t ( ) ( ) t +  −  (公斤/天)   w t / （公斤/天） 将两单位换算成统一形式： 焦 天 公斤 天 焦 公斤 / / ＝ 41868 / 连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式 模型建立 ＝ 3.1.1 人的体重

311人的体重 Mathematical Modeling 2012 模型建立 由上述分析,体重w满足下面关系式 ①(公厅/天)=5429(焦/天)-69(焦/天) △v 41868焦/公斤 两 的物理单位量纲一致,令 dw1300-16w △t→>0 dt 10000 m △t→>0 (0) Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 由上述分析，体重w(t)满足下面关系式 ( 5429 / 69 / / 41868 / w w t  − =  （焦 天） （焦 天） 公斤 天） 焦 公斤 两边的物理单位量纲一致，令  →t 0 d 1300 16 d 10000 w w t − = 0 w w (0) = 模型建立 0 lim  →t 3.1.1 人的体重

3人的体重 Mathematical Modeling 2012 模型求解 dt 1300-16v(t)10000 分离变量法 d(-16(t) 1 6dt 1300-16v() 16 1300-16v(t) 10000 1300-16(0)1000 0到t -1300161()2=1300-161(0)exp(-161000 积分 →1300-16V()=(1300-16)exp(-161000 13001300-16 16 6)exp(-16100 Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 分离变量法 d ( ) d 1300 16 ( ) 10000 w t t w t = − 0到t 积分 t w w t 10000 16 1300 16 (0) 1300 16 ( ) ln − = − − 1300 16 ( ) 1300 16 (0) exp( 16 /10000) − = − − w t w t 1300 −16w(t) = (1300 16 )exp( 16 /10000) 0 − w − t 0 1300 1300 16 ( ) ( )exp( 16 /10000) 16 16 w w t t − = − − 3.1.1 人的体重 模型求解 d( 16 ( )) 16d 1300 16 ( ) 10000 w t t w t − = − −

3人的体重 Mathematical Modeling 2012 模型解释 由上述表达可知,随着时间的变化,人的体重最终 趋于一种平稳的值1300(公斤) 16 即t->∞ 1300 W平稳=16(公斤)=81.25(公斤) Department of Mathematics HUST

Mathematical Modeling 2012 Department of Mathematics HUST 由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 ( ) 1300 16 公斤 ( ) ( ) 1300 81.25 16 w平稳 = = 公斤 公斤 模型解释 即 t → , 3.1.1 人的体重