西华大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）定积分的应用（主讲：朱雯）

第三节定积分的应用 学习重点 ②微元法 △具体实例用微元法表示 成定积分 △小结思考题 wM

学习重点 小结 思考题 微元法 具体实例用微元法表示 成定积分 第三节 定积分的应用

问题的提出 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x) y=∫(x)(∫(x)≥0) x轴与两条直线x=a、 x=b所围成。 bx A=f()dx

回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 一、问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x)  0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[u,b分成个长度为△x的小区间 相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形,第 小窄曲边梯形的面积为4,则A=∑△41 (2)计算△42的近似值 △4,≈f(5)△x;5;∈△x (3)求和,得A的近似值A≈∑f(5)△x

面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A  f ( )  i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x = 

(4)求极限,得A的精确值 A=im∑f(5)△x=,f(x)t面 积 提示若用△4表示任一小区间 元素 x,x+△x上的窄曲边梯形的面积, y=f(r) 则A=∑△4,并取△A≈f(x) 于是A≈∑∫(x)dx axx+dsx A=im∑f(x)dr=J,(x)

a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A  f ( x)dx， 于是A   f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) .  = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素

当所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量的变化区间,b]有关 的量; (2)U对于区间ab具有可加性,就是说, 如果把区间[a,b分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和; (3)部分量△U;的近似值可表示为∫(5;)△x; 就可以考虑用定积分来表达这个量

当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如为 积分变量,并确定它的变化区间[a,b 2)设想把区间[a,b分成t个小区间,取其中任 小区间并记为x,x+dx],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果U能近似地表示 为[a,b上的一个连续函数在x处的值∫(x)与dx 的乘积,就把∫(x)4x称为量的元素且记作 U,即山U=∫(x)l;

元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；

3)以所求量的元素∫(x)小x为被积表达式,在 区间nb上作定积分,得U=J(x)d, 即为所求量的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长 功;水压力;引力和平均值等

3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．

三、直角坐标系情形 y=∫(x) y=f2(x) y:=f(r) xx+△ of a xax b x 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=/(x)dx A=I(x)-fi(x)ldx

x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 =  b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 =  − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 二、直角坐标系情形 xx + x xx

例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=p 选x为积分变量x∈|0, 面积元素d4=(x-x2)d

例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 =  − 2 y = x 2 x = y

例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 y=x y=x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|-2,3 (1)x∈|-2,01,d41=(x3-6x-x2) (2)x∈|0,3l,d42=(x2-x3+6x)d

例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点  (0,0), (−2,4), (3,9).    = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −