《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）高斯公式（Green 公式）

第六节高斯公式 推广 Green公式 Gauss公式

第六节 高斯公式 Green 公式 Gauss 公式 推广

、高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR ++o)dv=i prydz+odzdx+ rdxdy s3 ax ay az 关、PR 或( aP a0 aR a x OS 斯公式 (Pcos a+ocos+rcos y)ds ∑ 这里∑是Q2的整个边界曲面的外侧 c0sa,cosB,cosy是∑上点(x,y,x)处的法向 量的方向余弦

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、R(x, y,z)在上具有 一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( )     =  +  +    +   +   或 一、高 斯 公 式 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos  ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. ------------------高斯公式

由两类曲面积分之间的关系知 ① aP, 80, aR 十 ax ay az 0为华 (Pcos a+Q cos B+Rcos r )d Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知

简单的应用 0次或 例1计算曲面积分中dh+ybx+hy,其中∑为柱 体x2+y2≤1被平面z=0,=4所截取的整个表面的外侧 谷2计围叫区攻为 2 共一径+9+2)4M2 2 T L2T 2 A+2+减=(x+8+)=2v

例 1.计算曲面积分 xdydz ydzdx xdxdy  + +  ,其 中  为 柱 体 2 2 x y + 1被平面 z z = = 0, 4所截取的整个表面的外侧. 二、简单的应用

使用Guas公式时应注意: PQR是对什么变量求偏导数 ①,Q.R- 2.是否满足高斯公式的条件 3.∑是取闭曲面的外侧

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧

从4.2gk×Ay= k dxdy=ra 例2计算曲面积分x2d+pd+zhd, ∑ 其中Σ为锥面x2+y2=2介于平面z=0及 =h(h>0)之间的部分的下侧 z 2=从(④4)D8x+ 21 22+21围34为 =( X十2十2乙 e i ∫+g S9++2 8≤z soz.tz d2-3 9计 及=2 W平

x y z o 例 2 计算曲面积分 , 其中Σ为锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面z = 0及 z = h(h  0)之间的部分的下侧. h 2 2 2 x dydz y dzdx z dxdy  + + 

例3计算曲面积分 (x cos a+y cos B+z cos y ds ,其中∑为 锥面x2+y2=x介于平面 了=0及z=h(h>0) h 之间的部分的下侧, coSa,cosβ,cosy 是Σ在(x,y,3处 J 的法向量的方向余弦

x y z o 例 3 计算曲面积分 2 2 2 ( cos cos cos ) x y z dS     + +  ,其中Σ为 锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0及z = h(h  0) 之间的部分的下侧, cos,cos,cos  是Σ在(x, y,z)处 的法向量的方向余弦. h

解空间曲面在xoy面上的投影域为Dy 曲面∑不是封闭曲面,为利用 高斯公式 补充∑1:z=h(x2+y2≤h2)(x1·h ∑取上侧, ∑ Σ+∑构成封闭曲面, J Σ+Σ围成空间区域Ω 在Ω上使用高斯公式

Dxy x y z o 1  h 解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy : ( ) 2 2 2 补充 1 z = h x + y  h 曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式 1取上侧，   + 1构成封闭曲面，.  + 1围成空间区域  在上使用高斯公式

(x cos a+y cos B+z cos r)ds ∑+∑ 2 (x+y+x)b=2 dxdya.m(x+y+z)da. 其中D={x,y)|x2+y2≤h2} h dyx(x+y)dz=0, D (x cos a +y cos B+z cos r)ds ∑+∑ ∫j h' -x-y)dxdy T D 2

   + = + + + + x y z dv x y z dS 2 ( ) ( cos cos cos ) 1 2 2 2      + = + + Dxy h x y dxdy x y z dz 2 2 2 ( ) , {( , )| }. 2 2 2 其中Dx y = x y x + y  h   + + = Dxy h x y dxdy x y dz 2 2  ( ) 0,   = − −  + + + Dxy h x y dxdy x y z dS ( ) ( cos cos cos ) 2 2 2 2 2 2 1    . 2 1 4 = h

(x cosa+ycosB+i cos y)ds=zds =‖hdy=mh 故所求积分为 (x' cos a+ y cos B+z cos yds Th2-h4=-1元h

     +  +  = 1 1 2 2 2 2  (x cos y cos z cos )dS z dS  = Dxy h dxdy 2 . 4 = h 故所求积分为   (x cos + y cos + z cos )dS 2 2 2 4 2 1 = h 4 − h . 2 1 4 = − h