《高等数学》课程教学资源（PPT习题课）多元函数微分学、二重积分

主要内容 )多元函数微分学 ●(二)二重积分

一、主要内容 （一）多元函数微分学 （二）二重积分

、主要内容(一、多元函数微分学) 平面点亮 多元函数概念 和区域 多元函数 极限远箕 的极限 多元连续函数 多元函数 的性质 连续的概念

平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 一、主要内容（一、多元函数微分学）

全微分 方向忌数 全微分 概念 的应用 复合函数 高阶偏导数 求导法则 偏导数 全微分彩式 概念 隐函数 的不变性 求导法则 多元函数的极值 微分法在 几何上的应用

全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 微分法在 几何上的应用 方向导数 多元函数的极值 全微分 概念 偏导数 概念

1、区域 (1)邻域 设P(x,y0)是xoy平面上的一个点,δ是某 正数,与点F(x0,y)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点P的δ邻域,记为U/(P0,0), U(P0,6)={P|PP0k8} ={x,y)|(x-xn)2+(y-n)3<} (2)区域连通的开集称为区域或开区域

1、区域 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0  ， （1）邻域 ( , ) U P0  = P | PP0 |  ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y    P0  （2）区域 连通的开集称为区域或开区域．

(3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 (4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称?元数组 (x1,x2,…,xn)的全体为n维空间,而每个元数 组 1929 xn)称为n维空间中的一个点,数 x称为该点的第个坐标

（3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. （4）n维空间 设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( , , , ) x1 x2  xn 的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( , , , ) x1 x2  xn 称 为n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标

2、多元函数概念 定义设D是平面上的一个点集,如果对于每 个点P(xy)∈D,变量按照一定的法则总有确 定的值和它对应,则称是变量x,y的二元函数, 记为z=f(x,y)(或记为z=f(P) 类似地可定义三元及三元以上函数 当n≥2时,n元函数统称为多元函数

设D是平面上的一个点集，如果对于每 个点P( x. y)  D，变量z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数， 记为z = f (x, y)（或记为z = f (P)）. 2、多元函数概念 定义 当n  2时，n 元函数统称为多元函数. 类似地可定义三元及三元以上函数．

3、多元函数的极限 定义设函数z=f(x,y)的定义域为D,P(x0,y) 是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在 正数δ,使得对于适合不等式 0y时的极限, 记为mim∫(x,y)=A x→x 0 y→>yo (或∫(x,y)→A(P→0)这里p=PP0|)

定 义 设函数z = f ( x, y)的定义域为D, ( , ) 0 0 0 P x y 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数  ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式  = − + −   2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) ( y y ) 的一切 点，都有| f ( x, y) − A |  成立，则称A 为函数 z = f ( x, y)当x → x0， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f ( x, y) → A ( → 0)这里 | |  = PP0 ）. 3、多元函数的极限

说明: (1)定义中P→P的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限imf(x,y); x→>xo (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似 4、极限的运算 设P→P时,f(P)→A,f(P)→B,则 (1)∫(P)士g(P)→>A土B;(2).∫(P)·g(P)→>A·B; (3).f(P)/g(P)→AB(B≠0)

说明： （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 4、极限的运算 (3). ( ) ( ) ( 0). (1). ( ) ( ) ; (2). ( ) ( ) ; ( ) , ( ) , 0 →   →   →  → → → f P g P A B B f P g P A B f P g P A B 设 P P 时，f P A f P B 则

5、多元函数的连续性 定义设n元函数∫(P)的定义域为点集D,P是 其聚点且P∈D,如果Im∫(P)=f(P则称 P→P 元函数∫(P)在点P处连续 设P是函数∫(P)的定义域的聚点,如果 f(P)在点P处不连续,则称是函数f(P)的 间断点

5、多元函数的连续性 定 义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 0 D, P 是 其聚点且P0  D，如果 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 则称n 元函数 f (P)在点P0 处连续. 设P0 是函数 f (P)的定义域的聚点，如果 f (P)在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P)的 间断点

6、多元连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次 (2)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在 D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 6、多元连续函数的性质