《数学建模》课程电子教案（PPT课件讲稿）初等模型

轫等模型

初等模型

§2.1舰 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行 员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合

某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。 §2.1 舰 艇的会合

Y P(x,y) 记v2v1=a通常a>1 航母 则|BP=a2|AP即 A(0,b x+(y+ b)2=a2[x2+(y-b) 62 可化为 X a-+ 4a b B(0,-b)/护卫舰 x+ly a2+1 2ab 令:h br 则上式可简记成 x2+(y-h) 由此关系式即可求出P 点的坐标和2的值。 y=(tan 0,)x+b( 本模型虽简单,但分析 y=(ana2)x-b(护卫舰的路极清晰且易于实际应用

1 2 , 1 1 2 2 2 − = − + = a ab b r a a 令： h 则上式可简记成 ： 2 2 2 x + (y - h) = r A(0,b) X Y B(0,-b) P(x,y) O 航母 护卫舰 θ1 θ2 ( ) [ ( ) ] 2 2 2 2 2 x + y +b = a x + y -b 即： 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 4 1 1 −  =              − + + − a a b b a a x y 可化为： 记v2 / v1=a通常a>1 2 2 2 则 | BP | = a | AP| 汇合点 p必位于此圆上。 y = (tan1 )x + b （航母的路线方程） y = (tan2 )x −b（护卫舰的路线方程 ） 由此关系式即可求出P 点的坐标和θ2 的值。 本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用

§22双层玻璃的功效 在寒冷的北方,许多住房的玻璃窗都是双层 玻璃的,在们立A然的的数学模 型,研 不妨可以提出以下假设: 比较两1设室内热量的流失是热传导的 差异仅1别起的,不存在户内外的空气对 流。 2、室内温度T1与户外温度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的,热传导系数 为常数

§2.2 双层玻璃的功效 在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提出以下 假设： 1、设室内热量的流失是热传导 引起的，不存在户内外的空气对 流。 2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数

室设玻璃的热传导系数为k,空气的 内热传导系数为k2,单位时间通过单 室外 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为Q 由热传导公式Q= kATla T-T Q=k=h2a k 解得:T (1+kl/k2d)7+72 02+(k)/k2a) (1+kl/k2d)7+T2 2+k,l/kd Q=k, k (2+kl/k2d

设玻璃的热传导系数 为k1，空气的 热传导系数 为k2，单位时间通过单 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为Q d l d 室 外 T2 室 内 T1 Ta Tb 由热传导公式 Q=kΔT/d 1 2 1 2 1 T T T T T T a a b b Q k k k d l d − − − = = = ( ) 2 ( )/( ) 1 1 2 1 2 1 2 k l k d k l k d T T Ta + + + 解得： = ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 (1 ) 2 2 k l k d T T T k l k d T T Q k k d d k l k d + + − + − = = +

室 外0.9 08 0.6 0.5 7/d 0.4 0.3 0.2 考虑到善观和使用的 h可 取h=3或,師3d3)5此耐房屋林量的损头超过 单层玻璃窗时的4%3%

此函数的图形为 d d 室 外 T2 室 内 T1 1 2 1 2 T T Q k d − = 1 2 2 2 ( ) /( ) Q Q k l k d = + 类似有 16 ~ 32 2 1 = k k 一般 1 1 8 / Q Q l d  + 故 记h=l/d并令f(h)= 8 1 1 h + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h f(h) 考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3或4，即l=3d（或4d），此时房屋热量的损失不超过 单层玻璃窗时的 4%-3%

§2.3崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下 块石头听回声的方法来估计山崖的高度, 假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器

§2.3 崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器

方法 假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式 h=- gt 2 来计算。例如,设=4秒,g=9.81米秒2,则可求得h=78.5 米 我学过微积分,我可以做 得更好,呵呵

方法一 假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式 来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。 2 2 1 h = gt 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵

除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当属空气阻 力。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度,阻力系数为常数,因而,由牛顿第二定律可 得 m-,=mg K 令k=Km,解得V=ce+ k 代入初始条件(0)=0,得c=-g/k,故有 kk 再积分一次,得: t+e+c 2 kk

mg Kv dt dv F = m = − 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： k g v ce kt = + − 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有 kt e k g k g v − = − 再积分一次，得： e c k g t k g h kt = + + − 2

代入初始条件h()=0,得到计算山崖高度的公式: h=夕t+ 2=2(t+e ① kkk 2 若设k=005并仍设4秒,则可求得hk。 进一步深入考虑 多测厂 均 听将e用泰勒公式展开并令k→0+,即可应时间 不得出前面不考虑空气阻力时的结果。 除反 应时间后应为39秒,代入式①,求得/=69.9米。 再一步深入考虑

若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 2 2 2 1 ( ) g g g g g kt kt h t e t e k k k k k k − − = + − = + − ① 多测几次，取平均 值 再一步深入考虑 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e -kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果