《代数结构》课程教学习题解答

《代数结构》 习题解答 第3,6,9次作业 邵新洋

《代数结构》 习题解答 ——第3，6，9次作业 邵新洋

第3次作业 ·作业编号: ·习题240,42 ·习题38,12

第3次作业 • 作业编号： • 习题2 40, 42 • 习题3 8, 12

习题240 题目:求37的12个原根 考察内容:原根/原根的性质 ·解答:査最小原根和指数表,得知37的最小原根 =2。由于Φ(37)=37-1=36,所以37的原根 都在缩系{21,22,…,236≡1}中。 如何找到其他的11个原根?

习题2.40 • 题目：求37的12个原根 • 考察内容：原根/原根的性质 • 解答：查最小原根和指数表，得知37的最小原根 =2。由于Φ 37 = 37 − 1 = 36，所以37的原根 都在缩系{2 1 , 2 2 , ⋯ ,2 36 ≡ 1}中。 • 如何找到其他的11个原根？

习题240 ·{21,22 36 22?错误:(22)18=1 ·23?错误:(23) 3)12≡1 ·24?错误:(24)9≡1 25? 28?错误:(28)9≡1

习题2.40 • 2 1 , 2 2 , ⋯ ,2 36 ≡ 1 • 2 2？错误： 2 2 18 ≡ 1 • 2 3？错误： 2 3 12 ≡ 1 • 2 4？错误： 2 4 9 ≡ 1 • 2 5？ • ⋯ • 2 8？错误： 2 8 9 ≡ 1

习题2.40 偎设2m也是一个原根。则使(2m)≡1的最小 n=36 假设(m,36)=k≠1,则m=k×l,则取n=36 36 即有(2×)k≡236=1 ·所以,m必须和36互素:m∈ {15,7,11,13,17,19,23,25,2931,35} 根据指数的定义:1≡gm有m=indn。举例: 如何求219:19=ind2x,去指数表内查得为35

习题2.40 • 假设2 𝑚也是一个原根。则使 2 𝑚 𝑛 ≡ 1的最小 n=36。 • 假设 𝑚, 36 = 𝑘 ≠ 1，则𝑚 = 𝑘 × 𝑙，则取𝑛 = 36 𝑘 ， 即有 2 𝑘×𝑙 36 𝑘 ≡ 2 36𝑙 ≡ 1。 • 所以，m必须和36互素：𝑚 ∈ {1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35} • 根据指数的定义：𝑛 ≡ 𝑔 𝑚有𝑚 = 𝑖𝑛𝑑𝑔𝑛。举例： 如何求2 19 ：19 = 𝑖𝑛𝑑2𝑥，去指数表内查得为35

习题2.40 观察H={21,22…,236≡1}。—-36阶循环群 实际上在模37运算下,构成一个乘法群。 对于数m,令集合G={0,1,2,…,m-1},则 在模m乘法运算下构成群 原根的意义:上述乘法群的所有Φ(m阶子群的所有 生成元

习题2.40 • 观察H = 2 1 , 2 2 , ⋯ ,2 36 ≡ 1 。——36阶循环群 • 实际上在模37运算下，构成一个乘法群。 • 对于数m，令集合𝐺 = {0,1,2, … , 𝑚 − 1}，则 在模m乘法运算下构成群。 • 原根的意义：上述乘法群的所有Φ 𝑚 阶子群的所有 生成元

习题242 ·证明:若α模p的阶为3,则α+1模p的阶为6 考察内容:阶的定义 ·阶的定义:a≡1(modp), 其中n是满足式子的最小整数。 ·所以,需要证明: a+1)6≡1m0dp) a+1阶不为12,3

习题2.42 • 证明：若𝒂模𝒑的阶为3，则𝒂 + 𝟏模𝒑的阶为6。 • 考察内容：阶的定义 • 阶的定义：𝑎 𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)， 其中n是满足式子的最小整数。 • 所以，需要证明： ൝ 𝑎 + 1 6 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑎 + 1阶不为1,2,3

习题2.42 ·已知a的阶为3,所以a3三1 因此,0≡a3-1≡(a-1)(a2+a+1)。由于 a的阶为3不是1,因此a-1≠0。所以有: a2+a≡-1(m0dp) 所以(a+1)6 (a3+3a2+3a+1 (1+3×(1)+1) 1

习题2.42 • 已知𝑎的阶为3，所以𝑎 3 ≡ 1。 • 因此，0 ≡ 𝑎 3 − 1 ≡ (𝑎 − 1)(𝑎 2 + 𝑎 + 1)。由于 𝑎的阶为3不是1，因此𝑎 − 1 ≢ 0。所以有： 𝑎 2 + 𝑎 ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) • 所以 𝑎 + 1 6 ≡ 𝑎 3 + 3𝑎 2 + 3𝑎 + 1 2 ≡ 1 + 3 × −1 + 1 2 ≡ 1

习题242 a+1的阶不为1,2,3: 之前推导过程中可以看出阶不为3。 阶不为1:很简单 ·阶不为2:a2+2a+1≡(a2+a)+a+1

习题2.42 • 𝑎 + 1的阶不为1，2，3： • 之前推导过程中可以看出阶不为3。 • 阶不为1：很简单 • 阶不为2：𝑎 2 + 2𝑎 + 1 ≡ 𝑎 2 + 𝑎 + 𝑎 + 1

习题38 题目:令α:S→T,A是S的子集,A在S中的补 A=S-A。当a是单射或满射时,讨论a(A)和 (a(A)的关系。 考察内容:集合的关系

习题3.8 • 题目：令𝜶: 𝑺 → 𝑻, 𝑨是𝑺的子集，𝑨在𝑺中的补 𝑨෩ = 𝑺 − 𝑨。当𝜶是单射或满射时，讨论𝜶 𝑨෩ 和 𝜶෫𝑨 的关系。 • 考察内容：集合的关系