《数学模型》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 初等模型

数学模型 第二章初等模到 2.1光盘的数据容量 2,2双层玻璃窗的功效 2.3划艇比赛的成绩 24实物交换 2.5污水均流池的设让 2.6交通流与道路通行能力 2,7核军备竞赛 2.8扬帆远航 29天气预报的评价

第二章 初等模型 2.1 光盘的数据容量 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 划艇比赛的成绩 2.4 实物交换 2.5 污水均流池的设计 2.6 交通流与道路通行能力 2.7 核军备竞赛 2.8 扬帆远航 2.9 天气预报的评价

(数学模型 初等模 研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型,其应用效果 差不多,那么初等模型更高明,也更受欢迎 尽量采用简单的数学工具来建模

• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 尽量采用简单的数学工具来建模 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 初 等 模 型

(数学模型 21光盘的数据容量 背景和问题 20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘①D,统称 光盘,用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等 20世纪90年代出现数字视频光盘ODVD) 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展 CD的数据容量:单层650MB(兆字节) DⅤD的数据容量:单层47GB(千兆字节) 从数学建模的角度研究:光盘的数据容量是 怎么确定的,在一定条件下怎样使其最大化 ④O

2.1 光盘的数据容量 背景和问题 • 20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘(LD), 统称 光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. • 20世纪90年代出现数字视频光盘(DVD). • 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. CD的数据容量: 单层650MB(兆字节) DVD的数据容量: 单层4.7GB(千兆字节) 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是 怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化

(数学模型 调查和分析 信道(螺旋线) 经过编码的数字信息,以 信道间距 定深度和宽度、不同长 度的凹坑的形式,用烧蚀 技术存储在光盘表面呈螺 2mm 45mm 旋线形状的信道上 120mm 当盘片上环形区域面积一定时,数据容量的大小 取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用 激光的波长,和驱动光盘的机械形式

调查和分析 45mm 120mm 2mm 信道间距 信道(螺旋线) 经过编码的数字信息，以 一定深度和宽度、不同长 度的凹坑的形式，用烧蚀 技术存储在光盘表面呈螺 旋线形状的信道上. 当盘片上环形区域面积一定时，数据容量的大小 取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度. 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用 激光的波长，和驱动光盘的机械形式

(数学模丝) 调查和分析数据容量饣‘信道长度·激光波长 线密度驱动形式 激光波长 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑 所携带的信息,必须锐利地聚焦 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑 为了提高存储数据的线密度,应该使光斑尽量小, 而光斑的大小与激光波长成正比 激光器激光波长光斑直径信道间距数据线密度 (um) (pm)(字节/mm) 红外CD)078 2 1.6 121 红色(DVD)0.64 0.925 0.74 387 蓝色OVD)0.41 0.4 0.32 8

调查和分析 • 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑 所携带的信息，必须锐利地聚焦. 数据容量 • 激光波长 • 驱动形式 • 信道长度 • 线密度 激光波长 • 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑. • 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小， 而光斑的大小与激光波长成正比. 激光器 激光波长 （μm） 光斑直径 （μm） 信道间距 （μm） 数据线密度 （字节/mm） 红外(CD) 0.78 2 1.6 121 红色(DVD) 0.64 0.925 0.74 387 蓝色(DVD) 0.41 0.4 0.32 800

数学模型 调查和分析驱动光盘的机械形式 恒定角速度(CAV) 恒定线速度CLV) 每一圈螺旋线上存储 各圈螺旋线上数据 同等数量的数据信息 的线密度不变 容量取决于最内圈的长容量取决于固定的线 度、线密度以及总圈数密度和螺旋线总长度 从光盘的容量比较,CLV优于CAV 数据读取时间:CIV每圈转速不同,当读出磁头在内外 圈移动时,需要等待光盘加速或减速,而CAV不需要 对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息,多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息,多用CAV

调查和分析 恒定角速度(CAV) 驱动光盘的机械形式 每一圈螺旋线上存储 同等数量的数据信息 容量取决于最内圈的长 度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据 的线密度不变 容量取决于固定的线 密度和螺旋线总长度 恒定线速度(CLV ) 从光盘的容量比较，CLV优于CAV. 数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外 圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要. 对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV

(数学模型 模型建立CIV(恒定线速度)光盘 数据容量 pcrp线密度, CLV 信道总长度 R1光盘环形区域内圆半径,R2~外圆半径,d~信道间距 CLV ∑2z(R+kd)= 丌(R2-R)(R2+R1-d) (m~总圈数) k=0 其他方法建模 环形区域面积信道间距同心圆平均周长*总圈数 (R2-R2) R2+R1R2-R1 CLV 2兀2

模型建立 CLV(恒定线速度)光盘 R1~光盘环形区域内圆半径, R2 ~外圆半径, d ~信道间距 CCLV = LCLV LCLV ~信道总长度 2 ( ) 1 1 0 L R k d n k CLV   + − =  d (R R )(R R d) 2 − 1 2 + 1 − =  d R R LCLV ( ) 2 1 2 2 −   环形区域面积/信道间距 同心圆平均周长*总圈数 d R R R R LCLV 2 1 2 1 2 2 + −   数据容量 ρ~线密度, (n~总圈数) 其他方法建模

(数学模型 模型建立 CAV(恒定角速度)光盘 数据容量Ccm=pomp~线密度,Lcv~信道总长度 螺旋线最内圈的长度近似为2R1, 总圈数可视为R2-R R2-R CAV =2R, 当线密度p、信道间距d和外径R2给定后,可选择 环形区域的内圆半径R1,使数据容量最大

模型建立 CAV(恒定角速度)光盘 螺旋线最内圈的长度近似为2πR1 , 总圈数可视为 d R2 − R1 d R R LCAV R 2 1 2 1 − =  数据容量 LCLV CCAV = LCAV ρ~线密度, ~信道总长度 当线密度ρ、信道间距d和外径R2给定后，可选择 环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大

(数学模型 模型求解CIV(恒定线速度)光盘 丌(R2-R) CLV R2,=58mm,R1=22.5mm 激光器激光波长信道长度信息容量影像时间 (um) (mm) (MB) mn 红外(CD) 0.78 5.611,179 679 18 红色DVD)0.6412,132,2794695 126 蓝色DvD)0.4128.058952,445 603 CD信道长度在5km以上,容量约680MB;DⅤD容量在 GB量级. 影像时间按照每秒钟占用0.62MB计算

模型求解 CLV(恒定线速度)光盘 激光器 激光波长 (μm) 信道长度 (mm) 信息容量 , (MB) 影像时间 (min) 红外(CD) 0.78 5,611,179 679 18 红色(DVD) 0.64 12,132,279 4,695 126 蓝色(DVD) 0.41 28,055,895 22,445 603 R2=58 mm , R1=22.5 mm d R R LCLV ( ) 2 1 2 2 −   CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在 GB量级. 影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算

(数学模型 模型求解 CAv(恒定角速度)光盘 CAV 2TR R2-R R 2d PCAV R1=R2/2时Lc最大 激光器激光波长信道长度信息容量影像时间 um (mm) (MB) mn 红外CD)078 3,302,599 400 11 红色DVD)0.647140,755 2,764 74 蓝色DVD)041 16.512996 13,210 355 即使在内圆半径的最佳选择下,CAV光盘 的信息容量也小于CIV光盘 ④O

模型求解 激光器 激光波长 (μm) 信道长度 (mm) 信息容量 , (MB) 影像时间 (min) 红外(CD) 0.78 3,302,599 400 11 红色(DVD) 0.64 7,140,755 2,764 74 蓝色(DVD) 0.41 16,512,996 13,210 355 CAV(恒定角速度)光盘 d R R LCAV R 2 1 2 1 − =  CCAV = LCAV d R 2 2  2 = 即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘 的信息容量也小于CLV光盘 . R1=R2 /2时LCAV最大