《数学分析》课程教学资源（考研大纲）

《数学分析》(604)考研大纲 (一)实数与函数 考试内容 绝对值与不等式,确界原理,函数及性质 考试要求 理解和掌握邻域,有界集,上、下确界,函数,复合函数,反函数,有界函数,单调函数,奇、偶函 数,周期函数等概念 (二)极限与连续 考试内容 数列极限定义,收敛数列的性质,单调有界原理,柯西准则,函数极限定义(趋于无穷大时的极限 趋于某一定数时的极限),函数极限性质,归结原理,柯西准则,两个重要极限,无穷小量,无穷大 量概念,无穷小量阶的比较,连续性概念,连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的性质,反函数 连续函数,一致连续性,指数函数的连续性,初等函数连续性,实数完备性定理:区间套定理,柯西 准则,聚点定理,有限覆盖定理等 考试要求 理解和掌握:数列极限的定义及计算,数列极限性质的原理及推导,单调有界原理,柯西准则及应用 函数极限的定义及计算,函数极限存在的归结原理,两个重要极限的计算,无穷小量,无穷大量概念, 无穷小量阶的比较及应用,一致连续性及应用,连续性的定义及其证明,间断点及其分类,连续函数 的局部性质,闭区间上连续函数的性质,区间套定理,柯西准则,聚点定理,有限覆盖定理原理及证 明,闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用 (三)导数与微分 考试内容 导数概念,导函数,导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数,求导法则与公式,微分概念 微分的运算法则,高阶导数与高阶微分,参数方程的一阶及二阶导数。 考试要求 理解和掌握:导数概念,导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数,求导法则与公式,微分 概念,微分的运算法则,高阶导数与高阶微分,参数方程的一阶及二阶导数 (四)徽积分基本定理,不定式极限,导数研究函数 考试内容

《数学分析》(604)考研大纲 （一）实数与函数 考试内容 绝对值与不等式，确界原理，函数及性质。 考试要求 理解和掌握邻域，有界集，上、下确界，函数，复合函数，反函数，有界函数，单调函数，奇、偶函 数，周期函数等概念。 （二）极限与连续 考试内容 数列极限定义，收敛数列的性质，单调有界原理，柯西准则，函数极限定义（趋于无穷大时的极限， 趋于某一定数时的极限），函数极限性质，归结原理，柯西准则，两个重要极限，无穷小量，无穷大 量概念，无穷小量阶的比较，连续性概念，连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数 连续函数，一致连续性，指数函数的连续性，初等函数连续性，实数完备性定理：区间套定理，柯西 准则，聚点定理，有限覆盖定理等。 考试要求 理解和掌握：数列极限的定义及计算，数列极限性质的原理及推导，单调有界原理，柯西准则及应用， 函数极限的定义及计算，函数极限存在的归结原理，两个重要极限的计算，无穷小量，无穷大量概念， 无穷小量阶的比较及应用，一致连续性及应用，连续性的定义及其证明，间断点及其分类，连续函数 的局部性质，闭区间上连续函数的性质，区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理原理及证 明，闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。 （三）导数与微分 考试内容 导数概念，导函数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，求导法则与公式，微分概念， 微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方程的一阶及二阶导数。 考试要求 理解和掌握：导数概念，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，求导法则与公式，微分 概念，微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方程的一阶及二阶导数。 （四）微积分基本定理，不定式极限，导数研究函数 考试内容

中值定理,洛必达法则,不定式极限,泰勒公式,皮亚诺余项泰勒公式,函数的单调性与极值,函数 的凸性,拐点,函数的图象讨论渐进线,作图。 考试要求 理解和掌握:费马定理,中值定理的原理及应用。熟练计算不定式极限,熟练掌握泰勒公式,皮亚诺 余项泰勒公式原理及应用,函数的单调性与极值,函数的凸性,拐点。 (五)积分 考试内容 原函数,不定积分及其运算法则,换元积分及分部积分法,有理函数的积分,三角函数的积分,定积分 的定义,可积必要及充分条件,可积函数类,定积分的性质原理,微积分基本定理,换元积分法,分 部积分法,非正常积分的定义和性质,平面图形的面积,由截面面积求立体体积,弧长的定义与弧长 计算公式,旋转曲面的面积,定积分在物理上的应用:压力、功和重心 考试要求 理解和掌握:不定积分的运算法则,换元积分,分部积分法,有理函数的积分,三角函数的积分,定 积分的定义,可积必要及充分条件,可积函数类,熟练掌握定积分的性质原理,微积分基本定理,换 元积分法,分部积分法,掌握非正常积分的定义,性质。 (六)级数 考试内容 级数的收敛性及发散,正项级数,一般判别原则,比较及根式判别方法,积分判别方法,一般项级数 (如交错级数),绝对收敛,阿贝尔判别法,一致收敛性,函数列与一致收敛性,函数项级数函数项 级数,函数项级数的一致收敛性判别法,一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理,幂级数及其 收敛区间,幂级数的性质与运算,函数的幂级数展开。 考试要求 理解和掌握:级数一般判别原则,比较及根式判别方法,积分判别方法原理及使用,绝对收敛,阿尔 判别法和狄里克里判别法,函数列的一致收敛性,函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用,一致 收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用 (七)傅里叶级数 考试内容 三角函数系,正交函数系,傅里叶级数及其收敛定理,傅里叶级数展开,偶函数与奇函数的傅里叶级 数 考试要求

中值定理，洛必达法则，不定式极限，泰勒公式，皮亚诺余项泰勒公式，函数的单调性与极值，函数 的凸性，拐点，函数的图象讨论渐进线，作图。 考试要求 理解和掌握：费马定理，中值定理的原理及应用。熟练计算不定式极限，熟练掌握泰勒公式，皮亚诺 余项泰勒公式原理及应用，函数的单调性与极值，函数的凸性，拐点。 （五）积分 考试内容 原函数,不定积分及其运算法则，换元积分及分部积分法，有理函数的积分，三角函数的积分，定积分 的定义，可积必要及充分条件，可积函数类，定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分 部积分法，非正常积分的定义和性质，平面图形的面积，由截面面积求立体体积，弧长的定义与弧长 计算公式，旋转曲面的面积，定积分在物理上的应用：压力、功和重心。 考试要求 理解和掌握：不定积分的运算法则，换元积分，分部积分法，有理函数的积分，三角函数的积分，定 积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类，熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换 元积分法，分部积分法，掌握非正常积分的定义，性质。 （六）级数 考试内容 级数的收敛性及发散，正项级数，一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法，一般项级数 （如交错级数），绝对收敛，阿贝尔判别法，一致收敛性，函数列与一致收敛性，函数项级数函数项 级数，函数项级数的一致收敛性判别法，一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理，幂级数及其 收敛区间，幂级数的性质与运算，函数的幂级数展开。 考试要求 理解和掌握：级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理及使用，绝对收敛，阿尔 判别法和狄里克里判别法，函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用，一致 收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。 （七）傅里叶级数 考试内容 三角函数系，正交函数系，傅里叶级数及其收敛定理，傅里叶级数展开，偶函数与奇函数的傅里叶级 数。 考试要求

理解和掌握:傅里叶级数展开,偶函数与奇函数的傅里叶级数展开 (八)多元函数的极限与连续 考试内容 平面点集,完备性定理,函数概念,二元函数的极限,累次极限,连续性概念,闭域连续性的性质。 考试要求 理解和掌握:平面点集,多元函数概念,完备性定理,二元函数的极限和累次极限的计算,连续性概 念,闭域上连续函数的性质 (九)多元函数的微分学 考试内容 可微性,全微分,偏导数,可微性条件,复合函数的求导法则,复合函数的全微分,方向导数与梯度, 泰勒公式与极值,中值定理和泰勒公式,极值问题,隐函数定理,隐函数组定理,隐函数求导,曲线 切线,曲面的法平面 考试要求 理解和掌握:可微性,全微分,偏导数,可微性条件概念,复合函数的求导法则,复合函数的全微分, 理解方向导数与梯度概念,高阶偏导数,极值的充分及必要条件原理及应用,熟练掌握隐函数,隐函 数组的求导原理及应用。 (十)重积分、参变量非正常积分、曲线积分与曲面积分 考试内容 二重与三重积分概念,重积分可积条件,累次积分,换元积分,参量积分求导,曲面面积,重心,转 动惯量,引力,含参变量非正常积分判别方法,分析性质,欧拉积分概念及性质,第一型曲线积分与 第一型曲面积分概念,计算公式,第二型曲线积分概念,计算公式,格林公式,曲线积分与路径无关, 第二型曲面的侧的概念,计算公式,高斯公式及原理,斯托克斯公式及原理。 考试要求 理解和掌握:二重与三重积分概念与计算,曲面面积,重心,转动惯量,引力,第一型曲线积分与第 一型曲面积分概念及其计算公式,第二型曲线积分与第二型曲面积分概念及其计算公式,含参量非正 常积分概念,欧拉积分概念及性质,格林公式,路径无关定理,高斯公式及原理,斯托克斯公式及原 理

理解和掌握：傅里叶级数展开，偶函数与奇函数的傅里叶级数展开。 （八）多元函数的极限与连续 考试内容 平面点集，完备性定理，函数概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念，闭域连续性的性质。 考试要求 理解和掌握：平面点集，多元函数概念，完备性定理，二元函数的极限和累次极限的计算，连续性概 念，闭域上连续函数的性质。 （九）多元函数的微分学 考试内容 可微性，全微分，偏导数，可微性条件，复合函数的求导法则，复合函数的全微分，方向导数与梯度， 泰勒公式与极值，中值定理和泰勒公式，极值问题，隐函数定理，隐函数组定理，隐函数求导，曲线 切线，曲面的法平面。 考试要求 理解和掌握：可微性，全微分，偏导数，可微性条件概念，复合函数的求导法则，复合函数的全微分， 理解方向导数与梯度概念，高阶偏导数，极值的充分及必要条件原理及应用，熟练掌握隐函数，隐函 数组的求导原理及应用。 （十）重积分、参变量非正常积分、曲线积分与曲面积分 考试内容 二重与三重积分概念，重积分可积条件，累次积分，换元积分，参量积分求导，曲面面积，重心，转 动惯量，引力，含参变量非正常积分判别方法，分析性质，欧拉积分概念及性质，第一型曲线积分与 第一型曲面积分概念，计算公式，第二型曲线积分概念，计算公式，格林公式，曲线积分与路径无关， 第二型曲面的侧的概念，计算公式，高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。 考试要求 理解和掌握：二重与三重积分概念与计算，曲面面积，重心，转动惯量，引力，第一型曲线积分与第 一型曲面积分概念及其计算公式，第二型曲线积分与第二型曲面积分概念及其计算公式，含参量非正 常积分概念，欧拉积分概念及性质，格林公式，路径无关定理，高斯公式及原理，斯托克斯公式及原 理

《数学分析》(604)考研题型 填空题、解答题、证明题和综合题 《数学分析》(604)参考书 1、数学分析(上、下册)第四版华东师范大学数学教研室编高等教育出版社 2、数学分析(上、下册)第五版东北师大高等教育出版社 3、数学分析习题解(相关教材配套课后习题解答,版本不限) 4、数学分析习题集吉米多维奇山东科学技术出版社

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