西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第三节 函数的极限

第三节函数的极限 教学目的:理解极限的概念,理解左右极限的概念,为研究微积分作好工具 准备 教学重点:各种趋势下的极限定义,左右极限存在与极限存在的关系 教学难点:极限概念的理解 教学内容 函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 满足-x<6的x的范围称作以乙为中心的6邻域,满足0<kx-x<6的范 围称作以0为中心,以6为半径的去心邻域,记作U(x) 现在考虑自变量x的变化过程为x→如果在x→的过程中,对应的函数值f(x) 无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数∫(x)当x→时的极限当然,这里我 们首先假定函数f(x)在点x0的某个去心邻域内是有定义的 定义:设函数(x)在点的某一去心邻域内有定义如果对于任意给定的正数e(不 论它多么小),总存在正数6,使得对于适合不等式0<k-x0<6的一切x,对应的 函数值∫(x)都满足不等式 (x)-4<e 那么常数A就叫做函数∫(x)当x→和时的极限,记作 lim f(x)=A 或f(x)→A(当x→x) 该定义用几何语言描述为:对于任意给定的因变量的范围(A-E,A+e),总存在自变量 这样的范围(x06x+0/x},有f(x)∈(A-E,A+8)(图12) y=f() A A-a 图1-2 1.证明下列极限 lim x=xo (1)x→

第三节 函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具 准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学内容： 一、 函数极限的定义 １．自变量趋于有限值时函数的极限 满足 的 的范围称作以 为中心的 邻域，满足 的范 围称作以 为中心，以 为半径的去心邻域，记作 . 现在考虑自变量 的变化过程为 .如果在 的过程中，对应的函数值 无限接近于确定的数值 ，那么就说 是函数 当 时的极限.当然，这里我 们首先假定函数 在点 的某个去心邻域内是有定义的. 定义 ：设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 （不 论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的 函数值 都满足不等式 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）. 该定义用几何语言描述为：对于任意给定的因变量的范围 ，总存在自变量 这样的范围 ，有 （图1-2） 图1-2 1. 证明下列极限 （1）

2 (2)x (3) 当x>0时,1mVz=√6 证:(1)∵|f(x)-A=|-x任给>0取6=E,当00要使(x)-40要使(x)-40,3>0,Vx:0<x-<1, 有|(x)-<

（2） （3） 证：（1） （2）函数在点x=1处没有定义. ， （3） 上述 时函数 的极限概念中， 是既从 的左侧也从 的右侧趋于 的.但有时只能或只需考虑 仅从 的左侧趋于 （记作 ）的情形，或 仅 从 的右侧趋于 （记作 ）的情形.在 的情形，此时我们有下 列定义： 设函数 在 内有定义.如果对于任意给定的正数 （不论它多么 小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫做函数 当 时的右极限，记作 或 （当 ）. 类似地，可定义左极限 或 （留给读者作为练习.左、 右极限也称单侧极限，容易证明下列定理. 定理 函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并 且相等，即 . 证 （ ）显然 （ ）因为 ，且 ， 故 ， 有

且对于上述的VE>0,352>0,Vx:00时(x)的极限不存在 证当x→0时(x)的左极限期。()=m(x-1)=-1 而右极限x→+ f(x)=lim(x+1) limf() 因为左极限和右极限存在但不相等,所以x0 不存在(图1-7) 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 如果函数f(x)当无限增大时,f(x)取值和常数要多接近就有多接近,此时称A是 f(x)当x→0时的极限,记作 limf(x)=A 下面给出定量化的定义("-x"定义) 定义设函数(x)当大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数已(不论它多 么小),总存在着正数x,使得对于适合不等式>E的一切x,对应的函数值f( 都满足不等式(x)AO 取x=则当|>时恒有 0,3x>0,使当x>时,恒有(x)-A<E那么常数A就叫做函数f(x当 x→+时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(当x→+0)

且对于上述的 有 . 令 ，有 故 . 例2 函数 证明当 时 的极限不存在. 证 当 时 的左极限 ， 而右极限 ， 因为左极限和右极限存在但不相等，所以 不存在（图1-7） ２．自变量趋于无穷大时函数的极限 如果函数 当 无限增大时， 取值和常数 要多接近就有多接近，此时称 是 当 时的极限，记作 . 下面给出定量化的定义（ ） 定义 设函数 当 大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数 （不论它多 么小），总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）. 例3 证明 证： 下面给出 的定义： 定义 设函数 在 内有定义. 如果 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）

类似地,可定义。f(x)=A,并且可以证明下面的结论: lim f(x)=A台imf(x)=A且lmf(x)=A 二、函数的极限的性质 1.极限的唯一性 若lmf(x)存在,则极限唯 以上性质的证明与数列极限的性质类似。(留给读者自己证明) 2.极限的局部有界性 若在某个过程下,f(x)有极限,则存在过程的一个时刻在此时刻以后f(x)有界 3.极限的局部保号性 如果 1m(x2=A且A>0成A0则36>0.当xeU(n,O时(x)>0(或(x)0,Vx∈U(x0,0),有f(x)≤g(x,则A≤B

类似地，可定义 ，并且可以证明下面的结论： 二、 函数的极限的性质 １．极限的唯一性 若 存在,则极限唯一. 以上性质的证明与数列极限的性质类似。（留给读者自己证明） ２．极限的局部有界性 若在某个过程下, 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 有界. ３．极限的局部保号性 如果 ４．极限的保序性 若