西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的和、差、积、商的连续性 由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知 若函数f(x),g(x在点x处连续则f(x)g(x),f(x)g(x在点x处连续) 若函数f(x,g(在点动处连续,2(g(x)≠0在点x处也连续 二、反函数与复合函数运算的连续性 定理如果函数y=f(x)在区间J,单调增加(或单调减少)且连续那末它的反函数 x=()也在对应区间4,=y=/(x)x∈l上单调增加(或单调减少)且连续 例如, 在-x,为]上单调增加且连续, 故y= arcsin x在-11上也是单调增加且连续 同理y= arccos x在-1单调减少且连续, y= arctan x,y= arc cot x在-0,+]上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 定理设函数=以x)在点x=连续,且以x0)=0,而函数y=f)在点 =L0连续,那么复合函数y=((x)在点x=70也是连续的 意义:极限符号可以与函数符号互换。 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的,一切初等函数在其定义区间内都是连续的 (定义区间是指包含在定义域内的区间) 注意:初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续 例如,y=√08x-1,D:x=0,土2x+4丌,…这些孤立点的邻域内没有定义 n(1+x) 0"-1 例求(1)0x c lim sin Ve- X 解:(1)原式x lim In(1+x)*=In[lim(1+x)*]=Ine=1 (2)令e2-1=y则x=ln(1+y),当x→>0时,y→0 =1m lim y01n(1+y) 原式 In(1+y (3)原式= sin ve2-1= sin ve-1

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知： ( ⅰ ) , (ⅱ) . 二、反函数与复合函数运算的连续性 定理 如果函数 在区间 单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数 x= (y)也在对应区间 上单调增加（或单调减少）且连续. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理   设函数 在点 连续，且 ，而函数 在点 连续，那么复合函数 在点 也是连续的. 意义：极限符号可以与函数符号互换。 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的，一切初等函数在其定义区间内都是连续的 （定义区间是指包含在定义域内的区间）。 注意：初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 例 求（1） ， （2） （3） ， （4） 解：（1）原式 （2） 原式 （3）原式

(√1+x2-1)(+x2+1 (4)原式 x(小+x+11+x+12=0

（4）原式