西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第五章 定积分 第四节 反常积分

第一节反常积分 教学目的:了解反常积分的概念 教学重点:反常积分的计算 教学难点:被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别 教学内容: 、无穷限反常积分 定义设函数()区间[a,+8]上连续,取b>a,如果极限m(存在,则称此极限 为函数()在无穷区间[a,+0]上的反常积分,记作」。(x缸,即 f(x)dx=limf(x)dx 这时也称反常积分。(x收敛:如果上述极限不存在,函数f(x)在无穷区间[a,+a 上的反常积分f(就没有意义,习惯上称为反常积分。(发散,这时记号 f(x)dx 不再表示数值了 类似地,设函数f(x)在区间(-o,b]上连续,取a0) 解:(1)计+于计+x+计+=计++计x lim arctan x ]+ lim [arctan x)=0-(6)+=7

第一节 反常积分 教学目的：了解反常积分的概念 教学重点：反常积分的计算 教学难点：被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别 教学内容： 一、无穷限反常积分 定义 设函数 在区间 上连续，取 .如果极限 存在,则称此极限 为函数 在无穷区间 上的反常积分,记作 ,即 . 这时也称反常积分 收敛;如果上述极限不存在,函数 在无穷区间 上的反常积分 就没有意义,习惯上称为反常积分 发 散 ,这时记号 不再表示数值了. 类似地,设函数 在区间 上连续,取 . 如果极限 存在，则 称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 这时也称反常积分 收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分 发 散. 设函数 在区间 上连续，如果反常积分 和 都收敛，则 称上述两反常积分之和为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 这时也称反常积分 收敛；否则就称反常积分 发散. 例1  计算反常积分：（1） ；（2） （ 是常数，且 ） 解：（1）

te pat=lim te"at=lim b→+ (2) lim te"pt-0 例2证明:反常积分(a>0当P>1时收敛。当P≤1时发散 证:当P=1时, dx 当P≠1 时 故命题得证 无界函数的反常积分 定义设函数f(x)在[a,b]上连续,而在点的右邻域内无界,如果极:1 f(x) 存在 则称此极限为函数f(x)[a,b]上的反常积分,仍然记作(x)k.即 ∫f(xk=imn」f(x)dx 这时也称反常积分()4收敛。如果上述极限不存在,就称反常积分()发故 类似地,设函数∫(x)在[a,b]上连续,而在点b的左邻域内无界,如果极限 广(对存在,则定义上/(k=1上()西则,就称反常积分/( 发散. 设函数Jf(x)在[a,b]上除点c(a<C<b)外连续,而在点c的邻域内无界,如果两个反 常积分()与()都收敛,则定义 Cr(x)dx=f f(x)dx+lf(x)dx=lim 'f()dx+ lim. f(x)dx 否则,就称反常积分发散. 例1计算反常积分 n,2门xm 丌 lm arcsin 例2讨论反常积分1-1x2的收敛性 =+00 故所求反常积分1x2发散

（2） 例2  证明：反常积分 当 时收敛；当 时发散. 证：当 时， 当 时， 故  命题得证. 二、无界函数的反常积分 定义 设函数 在 上连续，而在点的右邻域内无界，如果极 存在， 则称此极限为函数 在 上的反常积分，仍然记作 .即 . 这时也称反常积分 收敛。如果上述极限不存在，就称反常积分 发散. 类 似 地 ， 设 函 数 在 上 连 续 ， 而 在 点 的 左 邻 域 内 无 界 ， 如 果 极 限 存在，则定义 .否则，就称反常积分 发散. 设函数 在 上除点 外连续，而在点 的邻域内无界，如果两个反 常积分 与 都收敛，则定义 否则，就称反常积分发散. 例1 计算反常积分 解： 例2  讨论反常积分 的收敛性 解： 故  所求反常积分 发散

例3证明反常积分a(x-a)9当q<1时收敛;当q≥1时发散 dx 证:当q=1 时 X-4 q<1 当q≠1时, +00 故反常积分(x-a)7当<1时收敛,当21时发散

例3  证明反常积分 当 时收敛；当 时发散. 证：当 时， ； 当 时， . 故  反常积分 当 时收敛；当 时发散