西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第三章 中值定理与导数应用 第六节 函数图形的描绘

第六节函数图形的描绘 教学目的:培养学生运用微分学综合知识的能力,描绘函数的图形。 教学重点:复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数 图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐 近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线, 会描绘函数的图形 教学内容 、曲线的渐近线 1.水平渐近线(平行于x轴的渐近线) lm f(x)=b lm f(x)=b 如果x b为常数),那么y=b就是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线 丌 例如曲线y= arctan x有两条水平渐近线y2 2.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线) lm. f(x)=0 lm f(x)=oo 如果x→ ,那么x=石就是曲线y=f(x)的一条铅 直渐近线。 例如曲线(x+2)(x-3)有两条铅直渐近线x=-2,x=3 3.斜渐近线 如果m(x)-(ax+=0amf(x)-(ax+b)=0(a,b为常数)那 y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。 f(x 注意:如果(1)x→∞x不存在 f(x) 斜渐近线的 收存在仿n(x-时不存在那么曲线y=J(x)无斜渐近线 法 f(x) 求出 x→X f(x)-ax]=b ,则y=ax+b就是曲线y=f(x)的斜渐近 线 f(x)= 例3-38求曲线 1的渐近线 解D:(-∪(+0),因为m lim f(x)=-0o lim f(x)=+oo 所以x=1是铅直渐近线

第六节 函数图形的描绘 教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。 教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数 图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐 近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 教学内容： 一、曲线的渐近线 1. 水平渐近线（平行于 轴的渐近线） 如 果 或 （ 为 常 数 ） ， 那 么 就 是 曲 线 的一条水平渐近线。 例如曲线 有两条水平渐近线 2. 铅直渐近线（垂直于 轴的渐近线） 如果 或 ，那么 就是曲线 的一条铅 直渐近线。 例如曲线 有两条铅直渐近线 3. 斜渐近线 如果 或 （ 为常数）那么 就是曲线 的一条斜渐近线。 注意：如果(1) 不存在； (2) 存在，而 不存在, 那么曲线 无斜渐近线. 斜渐近线的求法： 求出 ， ，则 就是曲线 的斜渐近 线 例3-38 求曲线 的渐近线 解 , 因为 , 所以 是铅直渐近线

lim f(x) 2x-2)(x+3) 2 又因为x→xxx(x-1 n2(x=2x+3-2x]=1m2x=2Xx+3-2x(x= 所以y=2x+4为斜渐近线 二、函数图形的描绘 (1)确定函数的定义域,并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点; (6)联结这些点画出函数的图形 f(x)=4(x+1 例3-39做出函数 的图形 解:函数的定义域为D:x≠0非奇非偶函数,且无对称性 4(x+2) 8(x+3 x4,令∫(x)=0,得驻点x=-2 4(x+1 再令f"(x)=0得特殊点x=-3 f(x)=ln 得水平渐近线y=2,所0f(x)=m4(x+2=+ 铅直渐近线x=0 列表 x(∞-3-3 (-3,-2) 2(2.0 f(r) 0 f(r) 拐点 极值点 间断 (-3.、36 y 点

— — 0 + 不存 在 - - 0 + + + Ç↘ 拐点 È↘ 极值点 È↗ 间断 点 È↘ 又因为 , 所以 为斜渐近线 二、函数图形的描绘 (1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点; (6)联结这些点画出函数的图形. 例3-39 做出函数 的图形. 解: 函数的定义域为 非奇非偶函数,且无对称性. , , 令 , 得驻点 再令 得特殊点 , 又 得水平渐近线 ,而 ,铅直渐近线 列表

补充点:(1-√3,0),(1+√30),A(1-2),B(16),C(21 12 e分小 例340作函数 的图形. 解:函数为偶函数,定义域为(-0,+∞),图形关于y轴对称 +1)(x-1)-1 f"(x) √2丌 令(x)=0,得驻点x=0;再令f(x)=0,得x=-1和x=1 列表 x(-a-1)-1(-1000(01)11+) (x) 0 拐点 极大值 曲线有水平渐近线y=0 先作出区间(0,+)内的图形,然后利用对称性作出区间(∞)内的图形

补充点： ， ， ， 例3-40 作函数 的图形. 解: 函数为偶函数, 定义域为(-¥, +¥), 图形关于y轴对称. (2) , . 令 , 得驻点 ; 再令 , 得 和 . 列表: -1 0 1 ＋ ＋ 0 － － ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ È 拐点 ↗ Ç 极大值 ↘ Ç 拐 点 ↘ È 曲线有水平渐近线y=0. 先作出区间 内的图形, 然后利用对称性作出区间 内的图形