西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第四节 无穷大与无穷小

第四节无穷大与无穷小 、无穷小 如果对于任意给定的正数C(不论它多么小,总存在正数6(或正数x)使得对于适合 不等式0)的一切x,对应的函数值fx)都满足不等式(x)1)的一切x,所对应的函数值f(x都满足不等式 x>M,则称函数f(x)当x→列(或x→0)时为无穷大,记作 lim f(x)=oo(alim f(x)=oo) 特殊情形:正无穷大,负无穷大 imf(x)=+(或mf(x)=-0) 例如 般地有无穷大→无界,但反之不然 下面我们讨论无穷小与无穷大的关系 定理在自变量的同一变化过程中,如果∫(x)为无穷大,则f(x)为无穷小;反之,如 果Jf(x)为无穷小,且f(x)≠0,则了(x为无穷大 设imf(x)=0 证: vE>0,36>0使得当02即 <E e’"Jf(x) 当x→时,为无穷小 f(x) 反之,设lmf(x)=0,且f(x)≠0

第四节 无穷大与无穷小 一、无穷小 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 (或正数 ),使得对于适合 不等式 (或 )的一切 ,对应的函数值 都满足不等式 , 那 末 称 函 数 当 ( 或 ) 时 为 无 穷 小 , 记 作 定理1-3-2 其中 是当 时的无穷小. 证 ： （ 必 要 性 ） （充分性） 二、无穷大 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 (或正数 ),使得 对于适合不等式 (或 )的一切 ,所对应的函数值 都满足不等式 , 则 称 函 数 当 ( 或 ) 时 为 无 穷 大 , 记 作 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 例如 一般地有无穷大 无界，但反之不然. 下面我们讨论无穷小与无穷大的关系 定理 在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，如 果 为无穷小，且 ，则 为无穷大. 证:

vM>0.36>0使得当0x-M 由于f(x)≠0,( 当x→x时,为无穷大