西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第七节 无穷小的比较

第七节无穷小的比较 教学目的:理解无穷小的概念,会比较无穷小的阶,并会应用等价无穷小计 算极限 教学重点:无穷小的比较,等价无穷小在极限运算中的应用 教学难点:等价无穷小在极限运算中的应用 教学内容 、无穷小的比较 当x→0时,x,x2,nx,x2sam-都是无穷小 例如 观察各极限 103x=0,x2比3要快得多; Sin x ln 0x=1,anx与大致相同 lim 40x不存在不可比 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同 当在给定的趋势下,变量、β都是无穷小量,那么,它们谁趋近于零的速度更快 呢,我们给出如下定义: 定义设a,C是同一过程中的两个无穷小,且a≠0 (0果m、B:0就说是比高阶的无穷小记作B=o(a (2)如果m2=CC≠0,就说:与a是同阶的无穷小 特殊地如果1m2=1则称与a是等价的无穷小记作a~A (如果lm6=c(c≠0k>0,就说是a的阶的无穷小 例如当x→0时,4xtan3x为四阶无穷小 因为x=14(x3=4 4x tan'x X 二、等价无穷小在极限运算中的应用 设a~a,B~阻且m2存在,则m 定理 A 66a

第七节 无穷小的比较 教学目的：理解无穷小的概念，会比较无穷小的阶，并会应用等价无穷小计 算极限 教学重点：无穷小的比较，等价无穷小在极限运算中的应用 教学难点：等价无穷小在极限运算中的应用 教学内容： 一、无穷小的比较 例如， 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 当在给定的趋势下，变量 、 都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快 呢，我们给出如下定义： 定义 例如 因为 。 二、等价无穷小在极限运算中的应用 定理 证：

例1求x-01-cosx 当x→>0时,1-cosx~x2,tan2x~2x 解 原式 常用等价无穷小 sinx-x-arcsin x-tan x-arctan x-In(+x)-e-l-x, 1-cosrI (1+x)2-1~ax(a≠0),a2-1~xlna 注意:不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换 求in tan x-sin x 例2 错解:当x→0时,tanx~x,sinx~x 原式= 解:当x→0时,sin2x~2x,tnx-simx=tanx(1-cosx)2 原式 求 an 5x-cos x+1 例3 #:: tan x= 5x +o(x), sin 3x= 3x+o(), 1-cos x=-x+o(x) 5x +o(x)+x+o(x) =lim 样( o(x) 3x +o(x) 原式

例1 求 解: 原式 常用等价无穷小: 注意: 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 例2 错解: =0 解: 原式 例3 解: 原式