西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第十节 闭区间连续函数性质

第十节闭区间连续函数性质 教学目的:理解闭区间上的连续函数的性质 教学重点:闭区间上的连续函数的性质 教学难点:闭区间上的连续函数的性质 教学内容: 在闭区间上的连续函数具有下述良好性质 、有界性与最大值和最小值定理 定理若函数f(x)在闭区间,b]上连续,则f(x)在[a,b上有最大值和最小值。 定理若函数(x)在闭区间[,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界 证:设函数(在[a,b上连续,vx∈[a,b],有msf(x)≤M, 取K=max(m中,则有(x)≤K 函数f(x)在[a,上有界 注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立; 2若区间内有间断点,定理不一定成立 、零点定理与介值定理 定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与∫)异号(即 f()/()0,f(1)=-2<0, 由零点定理,丑∈(a,b),使f()=0,即23-42+1=0, 方程x3-4x2+1=0在(01内至少有一根E 定理(介值定理)设函数f(x)在闭区间,b上连续,且在这区间的端点取不同的函 数值(a)=A及()=B,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间{a,b)内至少 有一点,使得(2)=C(a<5<b) 证:设9(x)=f(x)-C,则x在a,的上连续, 且ao(a)=f(a)-C=A-C, (b)=f(b)-C=B-C, a)∞(b)<0.,由零点定理,3∈(a,b),使∞()=0, 即a(2)=f()-C=0,;f(E)=C 几何解释:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 例2

第十节 闭区间连续函数性质 教学目的：理解闭区间上的连续函数的性质 教学重点：闭区间上的连续函数的性质 教学难点：闭区间上的连续函数的性质 教学内容： 在闭区间上的连续函数具有下述良好性质 一、有界性与最大值和最小值定理 定理 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大值和最小值。 定理 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界。 证： 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 二、零点定理与介值定理 定理 （零点定理） 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ）,那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 使 . 几何解释: 闭区间连续函数曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧，则曲线弧与 轴至少有一个交点。 例1 证： 由零点定理, 定理 （介值定理）  设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函 数值 及 ，那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少 有一点 ，使得 . 证： 由零点定理, 几何解释： 推论  在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值 例2

设函数f(x)在区间[a,]上连续,且f(a)b证明3∈(a,b),使得∫(2)=b 证:令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[ab上连续, 而F(a)=f(a)-a0, 由零点定理,3∈(a,b),使F(5)=f()-=0,即f()=

证： 由零点定理